Κυρτές συναρτήσεις

peter · #1

1. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρτηση, η οποία είναι κάτω φραγμένη. Αποδείξτε ότι $\inf \{|f{'}(x)|: x\in \mathbb R\}=0$ .

#2

Αν σε κάποιο σημείο η $f^{\prime }$ μηδενίζεται τότε έχουμε τελειώσει. Αν όχι τότε από το θεώρημα του Darboux η $f^{\prime }$ διατηρεί πρόσημο.
Ας πούμε ότι $f^{\prime }\left( x\right) >0$ για όλα τα

. Αν το αποδεικτέο δεν αληθεύει θα υπάρχει θετικός

τέτοιος ώστε $f^{\prime }\left( x\right) >c$ για όλα τα

. Θεωρούμε x<0

και εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στο $\left( x,0\right)$ . Θα υπάρχει $\xi \left( x\right)$ ώστε
$f\left( x\right) -f\left( 0\right) =f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) x$
Είναι $f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) >c$ οπότε $f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) x<cx$
'Aρα $f\left( x\right) <cx+f\left( 0\right)$ και $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\allowbreak -\infty$ και η

δεν είναι φραγμένη κάτω (άτοπο).
Η περίπτωση όπου $f^{\prime }\left( x\right) <0$ αντιμετωπίζεται όμοια.
Μαυρογιάννης

peter · #3

Ωραία! Αξίζει να απομονώσουμε το εξής: Η κυρτότητα της

δε χρησιμοποιήθηκε παρά μονάχα ότι η

είναι γνησίως μονότονη και κάτω φραγμένη.

Να δείξουμε το εξής:

1.β. Αν $f:\mathbb R\to \mathbb R$ παραγωγίσιμη και κυρτή, ορίζουμε για κάθε x>0

τη συνάρτηση $m(x):=\inf\{|f{'}(t)|: |t|>x\}$ . Τότε, m(x)=o(1/x)

καθώς $x\to \infty$ .

Αυτό καλύπτει και το προηγούμενο.

peter · #4

Αντίστοιχο αποτέλεσμα (με το 1.) ισχύει και στον $\mathbb R^n$ .

1.γ. Αν $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ είναι C^1

, κυρτή και κάτω φραγμένη συνάρτηση, τότε $\inf_{x\in \mathbb R^n}\|\nabla f(x)\|_2=0$ , όπου $\|\cdot \|_2$ η κανονική Ευκλείδεια νόρμα.

Κυρτές συναρτήσεις

Κυρτές συναρτήσεις

Re: Κυρτές συναρτήσεις

Re: Κυρτές συναρτήσεις

Re: Κυρτές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση