Κυρτές συναρτήσεις

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Κυρτές συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Πέμ Ιουν 02, 2011 6:05 pm

1. Έστω f:\mathbb R\to \mathbb R κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρτηση, η οποία είναι κάτω φραγμένη. Αποδείξτε ότι \inf \{|f{'}(x)|: x\in \mathbb R\}=0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4307
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Κυρτές συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Ιουν 02, 2011 7:07 pm

Αν σε κάποιο σημείο η f^{\prime } μηδενίζεται τότε έχουμε τελειώσει. Αν όχι τότε από το θεώρημα του Darboux η f^{\prime } διατηρεί πρόσημο.
Ας πούμε ότι f^{\prime }\left( x\right) >0 για όλα τα x. Αν το αποδεικτέο δεν αληθεύει θα υπάρχει θετικός c τέτοιος ώστε f^{\prime }\left( x\right) >c για όλα τα x. Θεωρούμε x<0 και εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στο \left( x,0\right). Θα υπάρχει \xi \left( x\right) ώστε
f\left( x\right) -f\left( 0\right) =f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) x
Είναι f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) >c οπότε f^{\prime }\left( \xi \left( x\right) \right) x<cx
'Aρα f\left( x\right) <cx+f\left( 0\right) και \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\allowbreak -\infty και η fδεν είναι φραγμένη κάτω (άτοπο).
Η περίπτωση όπου f^{\prime }\left( x\right) <0 αντιμετωπίζεται όμοια.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Κυρτές συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Πέμ Ιουν 02, 2011 7:28 pm

Ωραία! Αξίζει να απομονώσουμε το εξής: Η κυρτότητα της f δε χρησιμοποιήθηκε παρά μονάχα ότι η f είναι γνησίως μονότονη και κάτω φραγμένη.

Να δείξουμε το εξής:

1.β. Αν f:\mathbb R\to \mathbb R παραγωγίσιμη και κυρτή, ορίζουμε για κάθε x>0 τη συνάρτηση m(x):=\inf\{|f{'}(t)|: |t|>x\}. Τότε, m(x)=o(1/x) καθώς x\to \infty.

Αυτό καλύπτει και το προηγούμενο.


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Κυρτές συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Ιουν 03, 2011 2:09 pm

Αντίστοιχο αποτέλεσμα (με το 1.) ισχύει και στον \mathbb R^n.

1.γ. Αν f:\mathbb R^n\to \mathbb R είναι C^1, κυρτή και κάτω φραγμένη συνάρτηση, τότε \inf_{x\in \mathbb R^n}\|\nabla f(x)\|_2=0, όπου \|\cdot \|_2 η κανονική Ευκλείδεια νόρμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης