Μονότονη συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Μονότονη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Πέμ Μάιος 26, 2011 1:54 pm

Έστω f:\mathbb R \to \mathbb R συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση G:\mathbb R^2\to \mathbb R ώστε f(x+y)=G(f(x),f(y)) για κάθε x,y\in \mathbb R. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.



Λέξεις Κλειδιά:
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μονότονη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Μάιος 26, 2011 6:17 pm

peter έγραψε:Έστω f:\mathbb R \to \mathbb R συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση G:\mathbb R^2\to \mathbb R ώστε f(x+y)=G(f(x),f(y)) για κάθε x,y\in \mathbb R. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι 1-1. Έστω ότι αληθεύει το αντίθετο.

Άρα υπάρχουν a, b \in \mathbb{R} (χωρίς βλάβη a<b) ώστε f(a)=f(b).

Εδώ πρέπει να χρησιμοποίησουμε ένα γνωστο λήμμα, σύμφωνα με το οποίο αν η f είναι συνεχής, μη σταθερή και f(a)=f(b), τότε το γράφημα της

έχει στο διάστημα [a,b] οσοδήποτε μικρές θέλουμε οριζόντιες χορδές, δηλαδή για κάθε \varepsilon >0 υπάρχουν

x_1,x_2 \in [a,b] με \displaystyle{0<x_2-x_1<\varepsilon \wedge f(x_1)=f(x_2)}, άρα

\displaystyle{f(x+x_2-x_1)=G(f(x-x_1),f(x_2))=G(f(x-x_1),f(x_1))=f(x-x_1+x_1)=f(x)}, άρα η f είναι περιοδική, χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.

Και επειδή είναι και συνεχής, άρα είναι σταθερή, αντίφαση.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης