Όριο ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Μάιος 19, 2011 6:12 pm

Αν a \in (0,1) ορίζουμε ακολουθία x_n με x_1 \in (0,a) και x_{n+1}=x_n^2-ax_n+a

Να βρεθεί το \displaystyle\lim_{n \to \infty}(x_1x_2...x_n)


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 19, 2011 7:13 pm

s.kap έγραψε:Αν a \in (0,1) ορίζουμε ακολουθία x_n με x_1 \in (0,a) και x_{n+1}=x_n^2-ax_n+a

Να βρεθεί το \displaystyle\lim_{n \to \infty}(x_1x_2...x_n)
Επαγωγικά δείχνουμε ότι 0<x_n<a: Για n=1 είναι η υπόθεση.
Για το επαγωγικό βήμα έχουμε x_{n+1}-a= x_n(x_n-a)<0 και, αφού a<1, είναι x_{n+1}-x_n= (x_n-a)(x_n-1)=(-)(-) >0. Άρα x_{n+1} > x_n>0.

Τέλος 0<x_1x_2...x_n < a^n \rightarrow 0 διότι 0<a<1.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης