η ρίζα της ρίζας...

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

η ρίζα της ρίζας...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Σάβ Απρ 30, 2011 11:41 pm

Nα υπολογισθεί \sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}}


Η.Γ

Λέξεις Κλειδιά:
gtk1994
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Τετ Απρ 14, 2010 5:04 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: η ρίζα της ρίζας...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gtk1994 » Σάβ Απρ 30, 2011 11:51 pm

Ελπίζω να πέφτω σε πλάνη, γιατί έχω την εντύπωση ότι κάπου έχω ξανασυναντήσει παρόμοιο θέμα, αλλά δε θυμάμαι που...(σε ολυμπιακά θέματα λυκείου νομίζω)
Ονομάζω λοιπόν αυτή την άπειρη (;) παράσταση N.
Άρα, N^2=5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}
και N^4=50\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2...}}}}
Άρα, N^4=50N\Leftrightarrow N=0( που απορρίπτεται ) \vee N= \sqrt[3]{50}
Άρα, N=\sqrt[3]{50}

Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από gtk1994 σε Κυρ Μάιος 01, 2011 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: η ρίζα της ρίζας...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Κυρ Μάιος 01, 2011 12:17 am

Αυτός ο τρόπος νομίζω ότι γενικά δεν είναι αποδεκτός.

Η καλύτερη και πιο σωστή αντιμετώπιση είναι με ακολουθίες.


Η.Γ
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: η ρίζα της ρίζας...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Μάιος 01, 2011 12:42 am

Ο τρόπος καλός είναι, αρκεί να αποδειχθεί ότι το όριο (με τα άπειρα ριζικά) υπάρχει.

\displaystyle{\sqrt {5\sqrt {2\sqrt {5\sqrt {2\sqrt {5...} } } } }  = {5^\big{{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} + ..} \right)}}}{2^\big{{\left( {\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^6}}} + ..} \right)}}} = {5^{^{\dfrac{2}{3}}}}{2^{\dfrac{1}{3}}} = \sqrt[\big{3}]{{50}}}


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4292
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: η ρίζα της ρίζας...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Μάιος 01, 2011 1:40 am

irakleios έγραψε:Αυτός ο τρόπος νομίζω ότι γενικά δεν είναι αποδεκτός.

Η καλύτερη και πιο σωστή αντιμετώπιση είναι με ακολουθίες.
Νομίζω και εγώ ότι η αντιμετώπιση του Γιώργου δεν είναι κακή. Κινείται στο ίδιο επίπεδο αυστηρότητας με την εκφώνηση. Διότι είναι συζητήσιμο ποια πράξη της 'Αλγεβρας χρησιμοποιείται στο σύμβολο
\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}}.
Εν πάση περιπτώσει η προσέγγιση του Γιώργου μπορεί να γίνει κάπως πιο αυστηρή αν γίνει και η εκφώνηση δηλαδή αν γράψουμε ότι αυτό που ζητάμε είναι το όριο της αναδρομικής ακολουθίας (a_{n}) με
a_{1}=\sqrt{5\sqrt{2}}, a_{n+1}=\sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}
Δείχνουμε επαγωγικά ότι η ακολουθία μας είναι γνησίως αύξουσα.
a_{1}<a_{2} (απλό)
a_{n}<a_{n+1}\Rightarrow 5\sqrt{2a_{n}}<5\sqrt{2a_{n+1}}\Rightarrow \sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}<\sqrt{5\sqrt{2a_{n+1}}}\Rightarrow a_{n+1}<a_{n+2}
Δείχνουμε πάλι επαγωγικά ότι η ακολουθία μας είναι φραγμένη άνω
a_{1}\leq \root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2} (αυτός ο αριθμός δεν είναι ουρανοκατέβατος, αφού η ακολουθία μας θα είναι συγκλίνουσα θα είναι φραγμένη και αφού είναι αύξουσα το όριο της, που το βρίσκουμε ανεπίσημα στο πρόχειρο, θα είναι ένα άνω φράγμα της)
a_{n}\leq \root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}\Rightarrow 5\sqrt{2a_{n}}\leq 5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}\Rightarrow \sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}\leq \sqrt{5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}}a_{n+1}\leq \sqrt{5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}}=\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}
Αν τώρα (εδώ επαναλαμβάνω στην ουσία την σκέψη του Γιώργου) ονομάσουμε N το όριο της ακολουθίας μας και η υπακολουθία της a_{n+1} έχει όριο επίσης N. Θα είναι N=\sqrt{5\sqrt{2}N} και συνεχίζοντας όπως ο Γιώργος βρίσκουμε N=0 (απορρίπτεται) η N=\root{3}\of{2}\left( \root{3}\of{5}\right) ^{2}.
Βέβαια μπορούμε να μεταγράψουμε την αλληλένθεση των άπειρων ριζικών σε εκθέτη σε άπειρο άθροισμα όπως έκανε ο Σεραφείμ οπότε έχουμε μια εκφώνηση που μας καθοδηγεί και στην απάντηση.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: η ρίζα της ρίζας...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Κυρ Μάιος 01, 2011 2:07 am

Λέγοντας ότι δεν είναι αποδεκτός ο τρόπος του Γιώργου (δεν είπα λάθος , εμένα προσωπικά μου άρεσε πάρα πολύ) εννοούσα ότι τίθεται ένα θέμα με την ύπαρξη του ορίου καθώς το Ν που έθεσε είναι το όριο .
Ίσως όμως όπως λέτε , η άσκηση να μην είχε την αυστηρή εκφώνηση .

Να είστε καλά και σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε με την άσκηση.


Η.Γ
gtk1994
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Τετ Απρ 14, 2010 5:04 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: η ρίζα της ρίζας...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gtk1994 » Κυρ Μάιος 01, 2011 5:48 pm

Κατ'αρχήν συγγνώμη που μπήκα στα λημέρια σας ... :D
Θα ήθελα να ρωτήσω .... Η λύση μου αυτή σε έναν οποιοδήποτε μαθητικό(!!) διαγωνισμό θα πιανόταν ως σωστή??

Γιώργος


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: η ρίζα της ρίζας...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Μάιος 01, 2011 6:22 pm

gtk1994 έγραψε:Κατ'αρχήν συγγνώμη που μπήκα στα λημέρια σας ... :D
Θα ήθελα να ρωτήσω .... Η λύση μου αυτή σε έναν οποιοδήποτε μαθητικό(!!) διαγωνισμό θα πιανόταν ως σωστή??

Γιώργος
Γιώργο, καλησπέρα και χρόνια πολλά.
Να μην ρωτάς ποτέ "αν η λύση θα πιανόταν ως σωστή". Γιατί η απάντηση στο ερώτημά σου θα είναι πάντα υποκειμενική. Αντίθετα η ερώτηση που έχει αντικειμενική απάντηση είναι " είναι η λύση μου σωστή;" και επ' αυτού, νομίζω πως απάντησε πλήρως ο Νίκος Μαυρογιάννης.


Σπύρος Καπελλίδης
gtk1994
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Τετ Απρ 14, 2010 5:04 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: η ρίζα της ρίζας...

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gtk1994 » Κυρ Μάιος 01, 2011 7:05 pm

Ευχαριστώ πολυ κ.Καπελλίδη για τη συμβουλή σας.
Ρωτάω απλώς για να ξέρω αν αυτός ο τρόπος λύσης είναι αποδεκτός σε μαθητικά πλαίσια...

Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες