Όριο ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 26, 2011 7:34 pm

Έστω \displaystyle{ 
a_1  = \sqrt 2  
}, \displaystyle{ 
a_2  = (\sqrt 2 )^{a_1 }  
}, \displaystyle{ 
a_n  = (\sqrt 2 )^{a_{n - 1} }  
n=2,3....}
Να δείξετε ότι το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n  
} υπάρχει και να υπολογίσετε την τιμή του.

Y.Γ:Καλή άσκηση για φοιτητές.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Απρ 26, 2011 9:01 pm

Άπλά γιά λόγους πληροφόρησης ας δούμε και
viewtopic.php?f=111&t=11538

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 26, 2011 9:15 pm

chris_gatos έγραψε:Έστω \displaystyle{ 
a_1  = \sqrt 2  
}, \displaystyle{ 
a_2  = (\sqrt 2 )^{a_1 }  
}, \displaystyle{ 
a_n  = (\sqrt 2 )^{a_{n - 1} }  
n=2,3....}
Να δείξετε ότι το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n  
} υπάρχει και να υπολογίσετε την τιμή του.

Y.Γ:Καλή άσκηση για φοιτητές.
Εύκολα βλέπουμε ότι a_n \ge 1 απότε και επαγωγικά η ακολουθία είναι αύξουσα. Το επαγωγικό βήμα είναι
a_{n+1} = \sqrt 2 ^{a_n} \ge \sqrt 2 ^{a_{n-1}}= a_n.

Επίσης παρατηρούμε ότι η ακολουθία φράσεται ανω από το 2 καθώς, για το επαγωγικό βήμα, a_{n+1}= \sqrt 2 ^{a_{n}} \le \sqrt 2 ^{2} =2.

Συνεπώς η ακολουθία συγκλίνει σε όριο x με 1 \le x \le 2 και x = \sqrt 2 ^x, ισοδύναμα \frac {\ln x}{x}= \ln (\sqrt 2). Μία προφανής λύση είναι η x=2. Είναι και μοναδική γιατί, στο διάστημά μας 1 \le x \le 2, η συνάρτηση \frac {\ln x}{x} είναι γνήσια αύξουσα (έχει παράγωγο \frac {1-\ln x}{x^2} > 0).

Τελικά το όριο είναι 2.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Edit. Διόρθωσα μικρή αβλεψία.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Όριο ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 26, 2011 10:44 pm

S.E.Louridas έγραψε:Άπλά γιά λόγους πληροφόρησης ας δούμε και
viewtopic.php?f=111&t=11538

S.E.Louridas
Ζητώ συγνώμη, δεν την είχα αντιληφθεί.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης