Σύγκλιση Ναί

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5446
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Σύγκλιση Ναί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Απρ 25, 2011 8:26 pm

Έστω \vartheta  \in \left( {0,\pi } \right) και x_n μία πραγματική ακολουθία.
Θεωρούμε την ακολουθία y_n ορισμένη ως εξής: y_0  = x_0 \;\kappa \alpha \iota \;y_n  = x_n  - (\cos \vartheta )x_{n - 1} ,\,\forall n \geqslant 1.
Να αποδειχθεί ότι: Αν η ακολουθία y_n συγκλίνει, τότε και η ακολουθία x_n θα συγκλίνει.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση Ναί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 26, 2011 2:49 pm

S.E.Louridas έγραψε:Έστω \vartheta  \in \left( {0,\pi } \right) και x_n μία πραγματική ακολουθία.
Θεωρούμε την ακολουθία y_n ορισμένη ως εξής: y_0  = x_0 \;\kappa \alpha \iota \;y_n  = x_n  - (\cos \vartheta )x_{n - 1} ,\,\forall n \geqslant 1.
Να αποδειχθεί ότι: Αν η ακολουθία y_n συγκλίνει, τότε και η ακολουθία x_n θα συγκλίνει.
Γράφουμε c = \cos \theta οπότε |c| < 1. Θα κάνω την περίπτωση 0 < c < 1, αλλά η άλλη είναι όμοια.

Από την δοθείσα εύκολα βλέπουμε ότι x_n = y_n + cy_{n-1} + ... + c^ny_0.

Χρησιμοποιούμε τώρα την γνωστή ιδιότητα (βλέπε Knopp, Infinite sequences and series, σελίς 34) ότι αν p_n >0 και
p_0 + p_1 + ... +p_n \rightarrow \infty τότε η

\displaystyle{\frac {p_0y_0 +p_1y_1+...+p_ny_n}{p_0+p_1+...+p_n}} συγκλίνει και αυτή στο \lim y_n.

Παίρνοντας p_k = \frac {1}{c^k} συμπραίνουμε ότι συγκλίνει και η

\displaystyle{ \frac{1-c^{n+1}}{1-c} \cdot \frac { y_0 + \frac{y_{1}}{c} + ... + \frac{y_{n-1}}{c^{n-1}} + \frac {y_n}{c^n}}{1 +\frac{1}{c}+...+ \frac{1}{c^n} } =

\displaystyle{ \frac{\frac{1}{c^{n+1}}-1}{\frac{1}{c}-1} \cdot \frac {c^n \left( y_0 + \frac{y_{1}}{c} + ... + \frac{y_{n-1}}{c^{n-1}} + \frac {y_n}{c^n}\right)}{1 +\frac{1}{c}+...+ \frac{1}{c^n} } =

\displaystyle{= y_n + cy_{n-1} + ... + c^ny_0 = x_n

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες