mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 3:54 pm**

Αν και έχω εποπτία σε αυτό που ρωτάω ήθελα να μάθω αν υπάρχει απόδειξη ότι οι πολικές συντεταγμένες έχουν μοναδική αντιστοιχία με τις καρτεσιανές και αντιστρόφως

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 5:10 pm**

Στις πολικές συντεταγμένες έχουμε ποικιλία τρόπων να ορίσουμε ένα σημείο. Π.χ. είναι (σε πολικές) $(1, \frac{\pi}{2}) = (1, 2\pi+\frac{\pi}{2}) = (-1, \pi+\frac{\pi}{2})$ και όλα αντιστοιχούν στο σημείο (σε καρτεσιανές) (0,1)

.

Δηλαδή αυτό που ρωτάς δεν είναι σωστό.

Αν τώρα ορίσουμε τις πολικές ως, παραδείγματός χάριν, $(r, \theta)$ με $r\ge 0, \, 0\le \theta < 2\pi$ τότε κάθε σημείο έχει μοναδική πολική μορφή (με αυτούς τους περιορισμούς) και μοναδική καρτεσιανή. Άρα από την καρτεσιανή βρίσκουμε μονότροπα την πολική (με αυτούς τους περιορισμούς) και αντίστροφα.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 5:44 pm**

Το ερώτημα μου γεννήθηκε όταν ο καθηγητής της ανάλυσης μας είπε ότι ο ορισμός του ορίου για 2 συντεταγμένες (x,y)

του καρτεσιανού μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ισοδύναμος με αυτόν με τις πολικές
δηλαδή
$\forall \epsilon >0 \ \ \exists \delta >0:\forall(r,\theta)$ με $0<r<\delta \Rightarrow |f(r\cos\theta,r\sin\theta)|<\epsilon$
Και σκέφτηκα να δω πως προκύπτει αυτό.Και παρατήρησα εύκολα ότι αρκεί να αντικαταστήσω το $\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$ και λέω αυτό τώρα μπορώ να το κάνω ανευ όρων.Στην Φυσική που είναι τρομερά χρήσιμες τις δεχόμαστε ως λογικό μετασχηματισμό απο την γεωμετρική εποπτεία που είχα
και αναρωτιόμουν αν μπορώ να δείξω ότι κάθε σημείο σε καρτεσιανές αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο σε πολικές

Και πάλι σας ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 6:09 pm**

MANOLISMATHS έγραψε: $\forall \epsilon >0 \ \ \exists \delta >0:\forall(r,\theta)$ με $0<r<\delta \Rightarrow |f(r\cos\theta,r\sin\theta)|<\epsilon$

Προφανώς δεν μεταφέρεις με ακρίβεια αυτό που είπε ο Καθηγητής σου. Π.χ. το παραπάνω δεν είναι ο ορισμός του ορίου αλλά ο ορισμός του ειδικού ορίου "το όριο στο (0,0) της f είναι 0".

Αν είναι έτσι, τότε σωστά σου τα είπε ο Καθηγητής σου. Ο γρήγορος τρόπος να το δεις είναι να δείξεις ότι το σύνολο των σημείων (x,y)

(καρτεσιανές συντεταγμένες) με $0< x^2+y^2 <\delta$ συμπίπτει με το σύνολο των σημείων $(r, \theta)$ (πολικές συντεταγμένες) με $0<r < \delta$ .

MANOLISMATHS έγραψε: λέω αυτό τώρα μπορώ να το κάνω ανευ όρων.

Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς με αυτό.

Μ.

mathematica.gr

πολικές συντεταγμένες

πολικές συντεταγμένες

Re: πολικές συντεταγμένες

Re: πολικές συντεταγμένες

Re: πολικές συντεταγμένες