Συγκλίνουσα ακολουθία;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συγκλίνουσα ακολουθία;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Μαρ 28, 2011 10:46 pm

a_n είναι μία ακολουθία πραγματικών για την οποία ισχύει \displaystyle{|a_{n+1}-a_n|<\frac {1}{n^2}, \forall n \in \mathbb{N}}. Συγκλίνει ή όχι;


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Συγκλίνουσα ακολουθία;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Μαρ 28, 2011 11:45 pm

Υποθέτω ότι είμαστε στο \mathbb R ή στο \mathbb C που είναι πλήρεις χώροι ως προς την απόλυτη τιμή.
Έστω \varepsilon>0. Η σειρά \displaystyle{\displaystyle{\sum_{k\geq1}\frac{1}{k^2}}} συγκλίνει, όπως μπορούμε να δούμε εύκολα και από το ολοκληρωτικό κριτήριο σύγκλισης. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι Cauchy, βρίσκω λοιπόν \displaystyle{n_{0}:n>m\geq n_{0}\Rightarrow\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k^2}<\varepsilon}.

Τώρα για n>m\geq n_{0} είναι \displaystyle{|a_{n}-a_{m}|<\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k^2}<\varepsilon}, άρα η a_{n} είναι Cauchy και συνεπώς συγκλίνει.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες