Ύποπτη ακολουθία και πιό ύποπτο αθροισματάκι

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Ύποπτη ακολουθία και πιό ύποπτο αθροισματάκι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Μαρ 24, 2011 7:50 pm

Αν \displaystyle{ 
b_1  = 2,b_n  = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {kb_k } ,n \ge 2 
} να υπολογίσετε το άθροισμα: \displaystyle{ 
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{b_k }}{{4^k }}}  
}
Τίτλος by Αnastasis


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ύποπτη ακολουθία και πιό ύποπτο αθροισματάκι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Παρ Μαρ 25, 2011 12:39 pm

\displaystyle{{b_{n - 1}} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{k = 1}^{n - 2} {k \cdot {b_k}}  \Rightarrow \left( {n - 1} \right){b_{n - 1}} = {b_1} + 2{b_2} + .. + \left( {n - 2} \right){b_{n - 2}}} , και

\displaystyle{n{b_{n - 1}} = {b_1} + 2{b_2} + .. + \left( {n - 2} \right){b_{n - 2}} + \left( {n - 1} \right){b_{n - 1}} = 2\left( {n - 1} \right){b_{n - 1}} \Rightarrow \boxed{{b_n} = \frac{{2\left( {n - 1} \right)}}{n}{b_{n - 1}}}} , για \displaystyle{n = 2,3,4,..} και \displaystyle{{b_1} = 2,{b_2} = 1} .

Τότε \displaystyle{{b_3}{b_4}..{b_{n - 1}}{b_n} = \frac{{2\left( {3 - 1} \right){b_2}}}{3} \cdot .. \cdot \frac{{2\left( {n - 2} \right){b_{n - 2}}}}{{n - 1}} \cdot \frac{{2\left( {n - 1} \right){b_{n - 1}}}}{n} \Rightarrow {b_n} = \frac{{{2^{n - 2}}\left( {n - 1} \right)!}}{{3 \cdot 4 \cdot .. \cdot n}}.. \Rightarrow }

Τελικά \displaystyle{\boxed{{b_n} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{n},n = 2,3,4,..{\text{  \&   }}{b_1} = 2}}

Τότε \displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{b_k}}}{{{4^k}}}}  = \frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 2}^\infty  {\frac{{{2^{k - 1}}}}{{k \cdot {4^k}}}}  = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 2}^\infty  {\frac{1}{{k \cdot {2^k}}}}  = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{k \cdot {2^k}}}}  - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \ln \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + \ln \left( 2 \right)} . (Όντως ύποπτο)


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες