mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 16, 2011 6:06 pm**

Είναι μια διαφορική εξίσωση που μου έδωσα ένας φυσικός απ' το σχολείο μου στην προσπάθειά του να μου την πει

!
Μου την παρουσίασε ως πολύ δύσκολη.

Μιας και δεν έχω ιδέα περί διαφορικών αναφέρω εκ των προτέρων ότι δεν έχω λύση.

Την ανεβάζω απλώς και μόνο, αν πρόκειται για κάτι καλό να ασχοληθούν όποιοι θέλουν.
Αν είναι τετριμμένη ας διαγράψουν το θέμα οι υπεύθυνοι.

Ας λυθεί λοιπόν η:

$y{''}+\eta \mu x\cdot y=a$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 16, 2011 6:32 pm**

Αν και δε καταλαβαίνω γιατί να θέλει ένας καθηγητής να την ''πει'' σε μαθητή του, πόσω μάλλον δίνοντάς του ένα θέμα πολύ πέρα από τις δυνατότητές του, η ιδέα πρέπει να είναι η εξής:

Αναζητούμε λύση της δ.ε. υπό μορφή δυναμοσειράς $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.}$

Είναι τότε $\displaystyle{f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-2)a_nx^{n-2}}$ και επειδή

$\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...}$ , με αντικατάσταση στη δ.ε. έχουμε

$\displaystyle{2a_2+6a_3x+12a_4x^2+20a_5x^3+...+\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\right)\left(a_0+a_1x+a_2x^2+... \right)=a.}$

Από εδώ και πέρα εξισώσουμε τους συντελεστές των αντίσοιχων δυνάμεων του $\displaystyle{x}$ (όπως στα ίσα πολυώνυμα) και υπολογίζουμε τους συντελεστές $\displaystyle{a_i.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 16, 2011 6:37 pm**

Aντώνη νομίζω πως δε παρουσίάζει καμία ιδιάιτερη δυσκολία, απλά είναι θέμα ρουτίνας και μεθοδολογίας.
Mπορείς και με σειρά Taylor γύρω απο το μηδέν και με τη μέθοδο της δυναμοσειράς μιάς και το μηδέν
είναι ομαλό σημείο της εξίσωσης
Πηγή:Στοιχειώδεις διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα συνοριακών τιμών-W.Boyce-R.DiPrima.

Y.Γ:Ο Θάνος το έχει καλύψει ως λύση,δεν το είχα δεί.Ξεκινάς για καλύτερη παρουσιάση υποθέτοντας $\displaystyle{ y\left( 0 \right) = c_1 ,y'(0) = c_2 }$
όπου $\displaystyle{ c_1 ,c_2 }$
αυθαίρετες σταθερές και ...παραγωγίζεις συνεχώς υπολογίζοντας τις υπόλοιπες παραγώγους στο μηδέν.Στο τέλος κάνεις ανάπτυξη Taylor κτλ,κτλ,κτλ.Για να πατσίσεις δώστου μία δύσκολη γεωμετρία!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 16, 2011 6:48 pm**

matha έγραψε:Αν και δε καταλαβαίνω γιατί να θέλει ένας καθηγητής να την ''πει'' σε μαθητή του, πόσω μάλλον δίνοντάς του ένα θέμα πολύ πέρα από τις δυνατότητές του

Κύριε Θάνο,

για να μην γίνει παρεξήγηση.

Με τον συγκεκριμένο καθηγητή έχω άριστες σχέσεις.
Πολλά διαλείμματα τα περνάμε μαζί συζητώντας διάφορα θέματα μαθηματικών ή φυσικής.

Μέσα σε αυτό το "φιλικό" πλαίσιο θέλησε να "μου την πει" χωρίς καμία κακή πρόθεση πέραν του να με πειράξει -με την καλή έννοια.

Εγώ την ανέβασα απλώς μήπως και ήταν κάτι καλό για να ασχοληθούν τα μέλη του

.

Αντώνης

mathematica.gr

Μια διαφορική

Μια διαφορική

Re: Μια διαφορική

Re: Μια διαφορική

Re: Μια διαφορική