ΔΕ
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 03, 2011 10:16 pm
Να βρείτε τις λύσεις της ακόλουθης Διαφορικής Εξίσωσης :
, c>0, ή y(x)=c
, c<0 ;mathematica.gr
ΔΕ
Σελίδα 1 από 1
Re: ΔΕ
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 03, 2011 10:33 pm
Μια προσπάθεια για στοιχειώδη λύση. Προφανώς η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και τελικά μετά απο λίγες πράξεις προκυπτει ότι η μορφή της θα είναι y(x)=c, c>0, ή y(x)=c, c<0 ;
, c>0, ή y(x)=c, c<0 ;Re: ΔΕ
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 03, 2011 11:23 pm
Το δεύτερο μέλος της εξίσωσης γράφεται:
![6^{log_{36}\left(9.y^2(x) \right)}=6^{\frac{log_{6}(9.y^2\left(x \right))}{log_{6}36}}=\\=6^{\frac{log_{6}(9.y^2(x))}{2}}=[6^{log_{6}(9.(y^2(x))}]^\frac{1}{2}=\left(9.y^2(x) \right)^\frac{1}{2}=3.\left|y(x) \right|](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b1b22f072afcd8a16af01f57a64cc568.png "6^{log_{36}\left(9.y^2(x) \right)}=6^{\frac{log_{6}(9.y^2\left(x \right))}{log_{6}36}}=\\=6^{\frac{log_{6}(9.y^2(x))}{2}}=[6^{log_{6}(9.(y^2(x))}]^\frac{1}{2}=\left(9.y^2(x) \right)^\frac{1}{2}=3.\left|y(x) \right|")
Άρα η εξίσωση γίνεται:
Η συνάρτηση y(x) ως παραγωγίσιμη θα είναι στο πεδίο ορισμού της και συνεχής
και επειδή λογαριθμείται το τετράγωνό της άρα θα είναι διάφορη του μηδενός
στο πεδίο ορισμού της.
Για τούτο θα έχουμε δύο περιπτώσεις:
1η) y(x)>0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της
2η) y(x)<0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της.
Έτσι στην πρώτη περίπτωση η (1) γίνεται:
Δηλαδή:
Όμοια στη δεύτερη περίπτωση είναι:
Άρα η εξίσωση γίνεται:
Η συνάρτηση y(x) ως παραγωγίσιμη θα είναι στο πεδίο ορισμού της και συνεχής
και επειδή λογαριθμείται το τετράγωνό της άρα θα είναι διάφορη του μηδενός
στο πεδίο ορισμού της.
Για τούτο θα έχουμε δύο περιπτώσεις:
1η) y(x)>0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της
2η) y(x)<0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της.
Έτσι στην πρώτη περίπτωση η (1) γίνεται:
Δηλαδή:
Όμοια στη δεύτερη περίπτωση είναι:
Re: ΔΕ
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 03, 2011 11:32 pm
Ο δαίμονας της πληκτρολόγησης χτύπησε. Στη λύση μου έχω ανάποδα τα πρόσημα στις σταθερές.