Διαφορικές με αντικατάσταση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Τάσος Φαλάς
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Φεβ 02, 2011 8:52 am

Διαφορικές με αντικατάσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τάσος Φαλάς » Τετ Φεβ 02, 2011 8:59 am

Πώς θα λύνατε τις διαφορικές:

\displaystyle{\frac{dy}{dx}=({x+y})^2}, με αντικατάσταση u(x) = y + x .

\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}} , με αντικατάσταση u(x) = y^3 .
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Τετ Φεβ 02, 2011 10:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2822
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διαφορικές με αντικατάσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Φεβ 02, 2011 9:45 am

Τάσο καλώς όρισες στο mathematica

( όπου γράφουμε τους τύπους με \rm{\LaTeX} ! )

[EDIT: 11:22] Για την 2η εξίσωση: Θέτοντας z=y^3\quad\Rightarrow\quad\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\,\frac{dz}{dx}} η διαφορική εξίσωση \displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}}} γίνεται \displaystyle{\frac{dz}{dx}+\frac{3}{x}\,z=\frac{6}{x^2}} , η οποία είναι γραμμική πρώτης τάξης και έχει πραγματικές λύσεις τις z=\dfrac{3x^2+c}{x^3} , c\in\mathbb{R} .
Επομένως y=\dfrac{({3x^2+c})^{1/3}}{x} , c\in\mathbb{R}\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11925
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαφορικές με αντικατάσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 02, 2011 11:17 am

Τάσος Φαλάς έγραψε:Πώς θα λύνατε τις διαφορικές:

\displaystyle{\frac{dy}{dx}=({x+y})^2}, με αντικατάσταση u(x) = y + x .

\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}} , με αντικατάσταση u(x) = y^3 .
1) u=y+x \Rightarrow u ' = y ' +1 και η εξίσωση γίνεται u ' =1+ u^2, που είναι απλή (τόξο εφαπτομένης)

2) u=y^3 \Rightarrow u ' = 3y^2y ' και η εξίσωση γίνεται \frac{1}{3}u ' + \frac{u}{x}=\frac{2}{x^2}}, άρα x^3 u ' + 3x^2u = 6x οπότε (x^3u) ' = 6x, που είναι απλή.

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης