Διαφορική

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Διαφορική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιαν 27, 2011 10:10 pm

Να βρείτε την συνάρτηση υ που ικανοποιεί την εξίσωση
v{''}+\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)v=0


Μάλλον παίζει ρόλο η ?

Από τον Stuart Clark


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11957
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαφορική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 28, 2011 12:00 am

mathxl έγραψε:Να βρείτε την συνάρτηση υ που ικανοποιεί την εξίσωση
v{''}+\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)v=0
Μετά από κάποιες πράξεις δοκιμάζοντας λύση της μορφής p(x)e^{\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)} βρίσκουμε ότι
η v= c(x-2)e^{\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)}
είναι λύση. Οι πράξεις είναι πολλές, αλλά ρουτίνα.

Για να βρούμε δεύτερη λύση, ανεξάρτητη, η μέθοδος των απροσδιορίστων συντελεστών πάντα δουλεύει (αλλά δεν δοκίμασα). Σύμφωνα με αυτήν βρίσκουμε άλλη λύση της μορφής v=p(x)q(x) , όπου q η λύση που βρήκαμε. Αυτό μας οδηγεί στην εξίσωση p^{\prime}^{\prime}q + 2p^{\prime}q^{\prime}=0 που είναι γραμμική ως προς p^{\prime}, και άρα λύνεται.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Διαφορική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Ιαν 28, 2011 11:55 am

Ερώτηση: Πώς ξέρουμε σε τι μορφή θα αναζητήσουε τη λύση κάθε φορά; Είναι θέμα εμπειρίας ή τυποποιείται μέχρι κάποιο σημείο;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2227
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Διαφορική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Ιαν 29, 2011 9:13 am

ΑΝ θέσουμε οπου χ το χ+2 με υ(χ+2)=y(x) έχουμε
\displaystyle{y''(x)+\frac{6-x^2}{4}y(x)=0} και \displaystyle{w(x)=y(x)e^{-\frac{x^2}{4}}} μετά τις πράξεις
\displaystyle{w''(x)-xw'(x)+w(x)=0} (Hermite) με μια λύση το \displaystyle{w_1(x)=x}
Για την άλλη λύση πχ "Τραχανάς Συνήθεις Δ.Ε σελίδα 358" Πανεπισ/κες . Ε . Κρήτης

Πιο συγκεκριμένα
Αν \displaystyle{W(x)=wronskian=e^{-\int{pdx}}=(\frac{w_2}{w_1})'w_1^2}
Εδώ η εξίσωση \displaystyle{w''+pw'+qw=0} έχει \displaystyle{p=-x} , \displaystyle{w_1=x} αρα \displaystyle{w_2=x\int{\frac{1}{x^2}e^{-x^2/2}dx}} και η w είναι γραμμικός συνδυασμός των \displaystyle{w_1,w_2}...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης