1-1 και συνεχής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4354
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

1-1 και συνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Ιαν 27, 2011 12:04 pm

Υπάρχει 1-1 και συνεχής συνάρτηση που να απεικονίζει το μοναδιαίο τετράγωνο
I \times I στο I=[0,1];
Μαυρογιάννης

__________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Συνεχής, 1-1, μοναδιαίο, διάστημα , τετράγωνο
__________________________________________________________


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 1-1 και συνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιαν 27, 2011 12:48 pm

Νίκο θα κάνω μια απόπειρα που μπορεί να μην είναι και σωστή, αλλά θέλω να δοκιμάσω αν δεν με έχει εγκαταλείψει η μνήμη μου:
Αν εξαιρέσουμε από το κλειστό μοναδιαίο τετράγωνο τρία οποιαδήποτε σημεία θα προκύψει ένα συνεκτικό σύνολο A. Συνεπώς το f(A) πρέπει να είναι συνεκτικό
Αλλά το f(A), ακόμη και στην περίπτωση που οι εικόνες των δύο εκ των τριών σημείων είναι τα άκρα του [0,1] θα είναι ένα σύνολο της μορφής (0,c) \cup (c,1), όπου c η εικόνα του τρίτου σημείου, το οποίο δεν είναι συνεκτικό σύνολο.
Άρα η απάντηση είναι αρνητική


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 1-1 και συνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιαν 27, 2011 1:23 pm

Ας δούμε και μια άλλη λύση:
Θα χρησιμοποιήσω το εξής λήμμα (Νομίζω πως έχει συζητηθεί. Σε αντίθετη περίπτωση θα αναρτήσω απόδειξη)*
Το [0,1]δεν μπορεί να γραφεί ως ένωση μιας οικογένειας ξένων μεταξύ τους κλειστών διαστημάτων

Έρχομαι στην απόδειξη:

Για κάθε a \in [0,1] ορίζω την συνεχή συνάρτηση f_a: [0,1] \to [0,1], f_a(x)=f(a,x)

Είναι προφανές ότι το f_a([0,1])=I_a είναι ένα κλειστό διάστημα.

Επίσης άμεση συνεπεια του 1-1 της f είναι το ότι a\neq b \Rightarrow I_a \cap I_b= \varnothing

Άρα αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση θα πρέπει το [0,1] να γράφεται ως ένωση μιας οικογένειας ξένων ανά δύο

κλειστών διαστημάτων, το οποίο είναι άτοπο.

*viewtopic.php?f=9&t=5251

Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 1-1 και συνεχής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 27, 2011 10:10 pm

Ίδια ιδέα με την πρώτη λύση του Σπύρου αλλά πιο απλά:

Έστω (x,y) \in I \times I με f(x,y) = 1/2. Τότε η f:I \times I \setminus \{(x,y)\} \to [0,1/2) \cup (1/2,1] είναι συνεχής, άτοπο, αφού το I \times I \setminus \{(x,y)\} είναι συνεκτικό ενώ το [0,1/2) \cup (1/2,1] όχι.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4354
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 1-1 και συνεχής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Ιαν 27, 2011 10:47 pm

Σπύρο, Δημήτρη ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις. Γράφω μία απόδειξη που δεν είναι δική μου.Την είδα στην Τοπολογία του Λέλεκ και ανήρτησα το θέμα κυρίως για να την μοιραστώ μαζί σας. Είναι απλή και χρησιμοποιεί πολύ στοιχειώδη μέσα. Ας υποθέσουμε ότι τέτοια συνάρτηση υπάρχει. Ας ονομάσουμε a=(0,0), b=(0,1) τις "κάτω" κορυφές του I\times I.
one to one.png
one to one.png (22.82 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές
Θα είναι f\left( a\right) \neq f\left( b\right). Ας πούμε ,χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι f\left( a\right) <f\left( b\right). Ο περιορισμός g της f στο τμήμα ab είναι ουσιαστικά μία συνεχής συνάρτηση από το I στο I και επομένως έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής. Άρα υπάρχει c εσωτερικό του τμήματος ab ώστε f(a)<f(c)<f(b). Η αντίστροφη εικόνα A=f^{-1}\left( \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) \right) του \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) είναι ανοικτό σύνολο που περιέχει το c. Επομένως θα υπάρχει κάποιος κύκλος με κέντρο το c που θα η τομή του B με το I\times I περιέχεται στο A. Θα είναι f\left( B\right) \subseteq \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) άρα υπάρχει σημείο d του B το οποίο δεν ανήκει στο ab αλλά απεικονίζεται στο \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right). Aν f(d)=f(c) έχουμε άτοπο. Αν πάλι f\left( d\right) \neq f\left( c\right) τότε το f(d) είναι τιμή της g πάλι από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Άρα υπάρχει m στο ab ώστε f(m)=g(m)=f(d) (άτοπο)
Για την μεταφορά: Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης