Θέμα ανάλυσης
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Θέμα ανάλυσης
Έστω a,b πραγματικοί αριθμοί, a<b. Ορίζουμε τη συνάρτηση f : [a,b) -> R, παραγωγίσιμη στο [a,b) με
συνεχή πρώτη παράγωγο. Επιπλέον, αν ισχύουν :
1) f(a)=1
2) .
3)
για κάθε χ στο [a,b)
τότε να αποδείξετε πως :
Nα δώσετε παράδειγμα συνάρτησης g ορισμένης στο [0,1) που να πληροί τις παραπάνω προυποθέσεις...
συνεχή πρώτη παράγωγο. Επιπλέον, αν ισχύουν :
1) f(a)=1
2) .
3)
για κάθε χ στο [a,b)
τότε να αποδείξετε πως :
Nα δώσετε παράδειγμα συνάρτησης g ορισμένης στο [0,1) που να πληροί τις παραπάνω προυποθέσεις...
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα ανάλυσης
Καλησπέρα Χρήστο. Να απαντήσω και γω σε μια δική σου άσκηση.
Η συνάρτηση \displaystyle h(x) = - \frac{1}
{{f(x)}} - xείναι γνήσια φθίνουσα και περνώντας στα όρια έχουμε
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\alpha ^ + }} h(x) = - 1 - \alpha
και
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\beta ^ - }} h(x) = - \beta , οπότε από τη μονοτονία και τη διάταξη στα όρια έχουμε \displaystyle \beta - \alpha \geqslant 1
Θωμάς
Υ.Γ
Οι ολυμπιακοί δεν βλέπουν τηλεόραση.
Λύνουν ασκήσεις
Η συνάρτηση \displaystyle h(x) = - \frac{1}
{{f(x)}} - xείναι γνήσια φθίνουσα και περνώντας στα όρια έχουμε
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\alpha ^ + }} h(x) = - 1 - \alpha
και
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\beta ^ - }} h(x) = - \beta , οπότε από τη μονοτονία και τη διάταξη στα όρια έχουμε \displaystyle \beta - \alpha \geqslant 1
Θωμάς
Υ.Γ
Οι ολυμπιακοί δεν βλέπουν τηλεόραση.
Λύνουν ασκήσεις
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα ανάλυσης
Μου την έσκασε ο Χρήστος.
Θα το δω.
Συγχαρητήρια στον Παναθηναϊκό.
Ήταν το τέλος του αγώνα και δεν πρόσεξα.
Θ.Ρ
Χρήστο μια τέτοια συνάρτηση είναι η \displaystyle f(x) = \frac{1}
{{1 - x}},x \in \left[ {0,1} \right)
Θα το δω.
Συγχαρητήρια στον Παναθηναϊκό.
Ήταν το τέλος του αγώνα και δεν πρόσεξα.
Θ.Ρ
Χρήστο μια τέτοια συνάρτηση είναι η \displaystyle f(x) = \frac{1}
{{1 - x}},x \in \left[ {0,1} \right)
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Kαλημέρα.
Γιατί τη βρήκα σε θέματα απειροστικού λογισμού κάποιας ελληνικής μαθηματικής σχολής...
Δε μπορώ να ξέρω απο πριν πως θα τη λύσει ο καθένας!
Γιατί τη βρήκα σε θέματα απειροστικού λογισμού κάποιας ελληνικής μαθηματικής σχολής...
Δε μπορώ να ξέρω απο πριν πως θα τη λύσει ο καθένας!
Χρήστος Κυριαζής
Re: Θέμα ανάλυσης
Καλημέρα Χρήστο
Αν δείξουμε ότι η f δεν μηδενίζεται τότε στέκει η απόδειξη του Θωμά παίρνοντας υπόψη ότι η h μπορεί να είναι και σταθερή.
Έτσι δεν είναι;
Γιώργος
Αν δείξουμε ότι η f δεν μηδενίζεται τότε στέκει η απόδειξη του Θωμά παίρνοντας υπόψη ότι η h μπορεί να είναι και σταθερή.
Έτσι δεν είναι;
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Όσον αφορά το πρώτο, νομίζω πως επιβάλλεται,αφού ο Θωμάς επέλεξε αυτόν τον τρόπο.
Για το δεύτερο που με ρωτάς, παρατήρησα κι εγώ πως η συνάρτηση που επιλέγει, κάνει τη βοηθητική g σταθερή...
Θα το ψάξω. Οχι όμως τώρα γιατί διαβάζω πολλαπλά ολοκληρώματα και δε θέλω να διακόψω.
Κι εγώ σκέφτομαι την άσκηση, παράλληλα με εσάς...
Για το δεύτερο που με ρωτάς, παρατήρησα κι εγώ πως η συνάρτηση που επιλέγει, κάνει τη βοηθητική g σταθερή...
Θα το ψάξω. Οχι όμως τώρα γιατί διαβάζω πολλαπλά ολοκληρώματα και δε θέλω να διακόψω.
Κι εγώ σκέφτομαι την άσκηση, παράλληλα με εσάς...
Χρήστος Κυριαζής
Re: Θέμα ανάλυσης
Δίνω μια απόδειξη ότι δεν μηδενίζεται η f .
Έστω ότι η f μηδενίζεται σε κάποιο .
Από το Θ.Μ.Τ στο με < x < b προκύπτει k στο ώστε
f΄(k) = και επειδή f΄(k) ] παίρνουμε
δηλαδή (1)
Παίρνοντας τώρα όρια στην (1) με προκύπτει , άτοπο
Άρα η f δεν μηδενίζεται στο [a , b)
Γιώργος
Τώρα που το καλοβλέπω και να είναι πάλι βρίσκουμε και με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο! Τι γίνεται; Εγώ κάνω λάθος ή η άσκηση είναι λάθος;
*Νομίζω κατάλαβα το λάθος μου. Το k εξαρτάται από το x , άρα f(k) δεν είναι σταθερά. Άντε πάλι από την αρχή!
Έστω ότι η f μηδενίζεται σε κάποιο .
Από το Θ.Μ.Τ στο με < x < b προκύπτει k στο ώστε
f΄(k) = και επειδή f΄(k) ] παίρνουμε
δηλαδή (1)
Παίρνοντας τώρα όρια στην (1) με προκύπτει , άτοπο
Άρα η f δεν μηδενίζεται στο [a , b)
Γιώργος
Τώρα που το καλοβλέπω και να είναι πάλι βρίσκουμε και με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο! Τι γίνεται; Εγώ κάνω λάθος ή η άσκηση είναι λάθος;
*Νομίζω κατάλαβα το λάθος μου. Το k εξαρτάται από το x , άρα f(k) δεν είναι σταθερά. Άντε πάλι από την αρχή!
τελευταία επεξεργασία από hsiodos σε Δευ Μάιος 04, 2009 12:19 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Ροδόπουλος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Aς διορθώσω κι εγώ την εκτίμηση μου, όσον αφορά την προσπάθεια του Γιώργου, η οποία ήταν πολύ καλή.
Όταν είσαι απορροφημένος, όμως δε μπορείς να κοιτάζεις τα πράγματα σε βάθος...Συγνώμη!
Όταν είσαι απορροφημένος, όμως δε μπορείς να κοιτάζεις τα πράγματα σε βάθος...Συγνώμη!
Χρήστος Κυριαζής
Re: Θέμα ανάλυσης
Η άσκηση νομίζω ότι δόθηκε στον απειροστικό 2 του μαθηματικού Αθήνας, δινόταν όμως ότι f αύξουσα το οποίο μάλλον ξεχάστηκε
Καλό θα ήταν να βρεθεί τώρα ένα αντιπαράδειγμα
Καλό θα ήταν να βρεθεί τώρα ένα αντιπαράδειγμα
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Ανακάλω, έγραφε και μάλιστα ''γνησίως αύξουσα''...Συγνώμη, αλλά πραγματικά ήταν σα να μήν υπήρξε! Έχει δίκιο ο Ροδόλφος..
Χρήστος Κυριαζής
Re: Θέμα ανάλυσης
Τώρα μάλιστα!
Νομίζω ότι οι συναρτήσεις με και ικανοποιούν τις συνθήκες της άσκησης.
Γιώργος
* Η συνέχεια της f΄ που μας χρησιμεύει;
Νομίζω ότι οι συναρτήσεις με και ικανοποιούν τις συνθήκες της άσκησης.
Γιώργος
* Η συνέχεια της f΄ που μας χρησιμεύει;
Γιώργος Ροδόπουλος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Πάντως κι εγω προσπαθούσα να την επιλύσω χωρίς το δεδομένο ''γνησίως αύξουσα''.Ειδικά χτες το βράδυ, λύσσαξα!
Ξαναζητάω συγνώμη απο τους συναδέλφους για την ταλαιπωρία.
Ροδόλφε, έπρεπε να επέμβεις...γρηγορότερα! Αλήθεια, γιατί αναρωτήθηκες, τι ζητάει η άσκηση, σ'αυτήν την κατηγορία;
Ξαναζητάω συγνώμη απο τους συναδέλφους για την ταλαιπωρία.
Ροδόλφε, έπρεπε να επέμβεις...γρηγορότερα! Αλήθεια, γιατί αναρωτήθηκες, τι ζητάει η άσκηση, σ'αυτήν την κατηγορία;
Χρήστος Κυριαζής
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα ανάλυσης
Χρήστο καλησπέρα, γιατί η f΄ πρέπει να είναι συνεχής;chris_gatos έγραψε:Έστω a,b πραγματικοί αριθμοί, a<b. Ορίζουμε τη συνάρτηση f : [a,b) -> R, παραγωγίσιμη στο [a,b) με
συνεχή πρώτη παράγωγο. Επιπλέον, αν ισχύουν :
1) f(a)=1
2) .
3)
για κάθε χ στο [a,b)
τότε να αποδείξετε πως :
Nα δώσετε παράδειγμα συνάρτησης g ορισμένης στο [0,1) που να πληροί τις παραπάνω προυποθέσεις...
Πάντως αν και με ταλαιπώρησε η άσκηση, νομίζω ότι
οι θέσεις που μηδενίζεται η f (αν μηδενιζόταν) είναι και σημεία μηδενισμού της f΄.
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Θέμα ανάλυσης
Θωμά, αν σου πω πως δεν ξέρω γιατί f' συνεχής , θα με πιστέψεις;
Ξέχασα, βλακωδώς,να γράψω το βασικότατο ''γνήσια αύξουσα'' στα δεδομένα κι έτσι ταλαιπώρησα κι έμενα κι εσάς...
Με αυτό το δεδομένο η άσκηση τελειώνει νομίζω αφού έτσι δεν αφήνει περιθώρια μηδενισμού στην f.
Ξέχασα, βλακωδώς,να γράψω το βασικότατο ''γνήσια αύξουσα'' στα δεδομένα κι έτσι ταλαιπώρησα κι έμενα κι εσάς...
Με αυτό το δεδομένο η άσκηση τελειώνει νομίζω αφού έτσι δεν αφήνει περιθώρια μηδενισμού στην f.
Χρήστος Κυριαζής
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα ανάλυσης
Εντάξει Χρήστο.
Για να δούμε στη πράξη ένα κομμάτι της τεχνικής της άσκησης δες το συνημένο αρχείο.
Όσον αφορά τη συνέχεια της f΄ παραμένει το ερωτηματικό.
Θωμάς
Για να δούμε στη πράξη ένα κομμάτι της τεχνικής της άσκησης δες το συνημένο αρχείο.
Όσον αφορά τη συνέχεια της f΄ παραμένει το ερωτηματικό.
Θωμάς
- Συνημμένα
-
- thema_analysis.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες