Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Πέμ Οκτ 28, 2010 3:02 pm

εἰρήνη ὑμῖν λοιπόν και επανέρχομαι μετά την μπόρα με ένα ωραίο συνδιαστικό θέμα που μεταφράζω από το βιβλίο του Pap Endre το οποίο αγόρασα τώρα τελευταία και συνιστώ ανεπιφύλακτα σε όποιον θέλει να ασχοληθεί με μιγαδική ανάλυση.

Έστω \displaystyle{\bf F(z)=\frac{1}{\sin(z)}-\frac{1}{z}}.

1. Να βρεθούν οι μεμονωμένες ανωμαλίες της \displaystyle{\bf F(z)}. Είναι η \displaystyle{\bf f(z)=\begin{cases}\bf F(z) &\bf ,\;z\neq 0 \\\bf 0 &\bf ,\;z=0\end{cases}} αναλυτική στο σημείο 0;

2. Να βρεθούν τα υπόλοιπα της \displaystyle{\bf f} σε όλους τους πόλους.

3. Να δείξετε ότι \displaystyle{\bf \left|\frac{1}{\sin(z)}\right|^{2}=\frac{2}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}.

4. Να δείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός \bf n_{0} τέτοιος ώστε η συνάρτηση \bf f να είναι φραγμένη ανεξάτητα από \bf n\geq n_{0} στο σύνορο του τετραγώνου \bf K_{n} το οποίο δίνεται από τις
\bf z=\pm(n+1/2)\pi+it,\;\;-(n+1/2)\pi\leq t\leq (n+1/2)\pi
\bf z=t\pm i(n+1/2)\pi,\;\;-(n+1/2)\pi\leq t\leq (n+1/2)\pi

5. Για αυθαίρετο αλλά σταθερό \displaystyle{\bf n\in\mathbb{N}} να βρεθεί το ολοκλήρωμα,
\displaystyle{\colorbox{orange}{\boxed{\bf I_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_{n}}\frac{f(u)}{u(u-z)}\;\texttt{d}u}}}

6. Να αποδειχτεί ότι \displaystyle{\bf \lim_{n\longrightarrow +\infty}I_{n}=0} καθώς και η ισότητα \displaystyle{\bf F(z)=2z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}.


\displaystyle{\color{redrose}\rule{150pt}{1pt}}
Επίσης θα ήταν θεμιτό να απαντηθούν με την σειρά που δίνονται. Επαναφέρω και ένα άλλο παλιότερο που είχα βάλει, καθώς θα ήθελα να δω κάποιες λύσεις here
τελευταία επεξεργασία από Ωmega Man σε Παρ Οκτ 29, 2010 12:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 29, 2010 12:17 pm

Ωmega Man έγραψε:καθώς και η ισότητα \displaystyle{\bf F(z)=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}.
...
Γιώργο, μήπως λείπει ένα z από την τελευταία ισότητα; Δεν δοκίμασα την άσκηση αλλά υποψιάζομαι ότι \displaystyle{ \bf F(z)=2z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης