Σελίδα 1 από 1

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 27, 2010 9:48 am
από s.kap
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f που ορίζεται στο \mathbb{R}, είναι 1-1, κυρτή και f(\mathbb{R})=(a,b), όπου a,b \in \mathbb{R} με a<b

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 27, 2010 1:05 pm
από dement
Καλημερα.

Εστω σημεια x_1 < x_2 με f(x_1) < f(x_2). Τοτε, λογω κυρτοτητας, για καθε x > x_2 ισχυει \displaystyle \frac{f(x) - f(x_2)}{x - x_2} \geq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}, δηλαδη \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty (ατοπο).

Ομοιως, αν f(x_1) > f(x_2), τοτε \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty (παλι ατοπο).

Δημητρης Σκουτερης

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 27, 2010 1:48 pm
από s.kap
Δημήτρη ευχαριστώ
Ας δούμε και μια κάπως διαφορετική. Με απαγωγή σε άτοπο
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση, τότε
Η \displaystyle{f}, λόγω της κυρτότητας θα είναι συνεχής και επειδή είναι 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι γνησίως αύξουσα, τότε
\displaystyle\lim_{x\to + \infty}f(x)=b
Από την κυρτότητα
f(\frac {1+n}{2}) \leq \frac {f(1)+f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to \infty} f(\frac {1+n}{2}) \leq \displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac {f(1)+f(n)}{2} \Rightarrow b \leq \frac {f(1)+b}{2} \Rightarrow b \leq f(1) ,
άτοπο.
Φιλικά

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 27, 2010 3:15 pm
από R BORIS
H f έχει μη οριζόντια εφαπτομένη σε κάποιο α
Αν \displaystyle{f'(a)>0}
Η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της άρα θα τείνει στο +άπειρο όταν το χ τείνει στο +άπειρο. Άτοπο αφού f φραγμένη
Αν \displaystyle{f'(a)<0} θα τείνει στο +άπειρο όταν το χ τείνει στο -άπειρο.Ατοπο

(Για την κυρτή νομίζω ότι χρειάζεται μὀνο το ανω φράγμα, για την κοίλη το κάτω)