Δημήτρη ευχαριστώ
Ας δούμε και μια κάπως διαφορετική. Με απαγωγή σε άτοπο
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση, τότε
Η

, λόγω της κυρτότητας θα είναι συνεχής και επειδή είναι 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι γνησίως αύξουσα, τότε
Από την κυρτότητα

,
άτοπο.
Φιλικά