Σύγκλιση σειράς 111

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big({1-\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}\big)$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση.

Ορέστης Λιγνός · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 6:13 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big({1-\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}\big)$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση.

Από το Θεώρημα Taylor, για τα

κοντά στο

είναι

. Συνεπώς, η μελέτη της σύγκλισης της ζητούμενης σειράς ανάγεται στην μελέτη των σειρών $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ και $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} O \left (\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )$ . Η πρώτη σειρά συγκλίνει από το κριτήριο του Leibniz για τις εναλλάσσουσες σειρές, ενώ η δεύτερη σειρά συγκλίνει λόγω της σύγκλισης της αρμονικής σειράς $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^p}$ για p>1

.

Συνολικά, συνάγουμε ότι η σειρά συγκλίνει.

#3

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 6:13 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big({1-\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}\big)$

Συγκλίνει.

Το μερικό άθροισμα γράφεται

$\displaystyle - \sum_{n=1}^{N}\tfrac{({-1})^n}{n+1}}-\sum_{n=1}^{N}\big({\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}- \big ( 1+\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\ \big) \big)$

To πρώτο άθροισμα συγκλίνει ως εναλλάσουσα σειρά, οπότε μένει να αποδείξουμε ότι συγκλίνει το δεύτερο.

Από την ανισότητα $e^x\ge 1+x$ για κάθε

, o γενικός όρος $\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}- \big ( 1+\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big )$ είναι θετικός. Οπότε για να αποδείξουμε την σύγκλιση αρκεί να αποδείξουμε ότι τα μερικά αθροίσματα της εν λόγω σειράς είναι φραγμένα. Αλλά αυτό έπεται α) από την $e^x=1+x+ \big O ( x^2)$ για $-1\le x \le 1$ που εδώ παίρνει την μορφή

$e^{\tfrac{({-1})^n}{n+1}}=1+{\tfrac{({-1})^n}{n+1}}+ \big O ( {\tfrac{1}{(n+1)^2}})$

και β) από το γεγονός ότι η $\displaystyle{\sum \dfrac {1}{(n+1)^2} }$ συγκλίνει.

Edit. Με πρόλαβε ο Ορέστης με την ίδια λύση. Το αφήνω για το κόπο.

#4

Σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις!

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 8:24 am
... και $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} O \left (\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )$ ....συγκλίνει λόγω της σύγκλισης της αρμονικής σειράς $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^p}$ για .

Επιτρέψτε μου να εξηγήσω εκτενέστερα την σύγκλιση της σειράς που αναφέρει ο Ορέστης:

Επειδή, υπάρχουν c>0

και $n_0\in\mathbb{N}$ , τέτοια ώστε, για κάθε $n\in\mathbb{N}_{n\geqslant n_0}$ , να ισχύει $\frac{c}{n^2}\leqslant\frac{1}{(n+1)^2}$ , έπεται ότι $\sum_{n=1}^{+\infty} \mathcal{O}\left(\frac{1}{(n+1)^2} \right) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{c}{n^2}<+\infty$ .

Σύγκλιση σειράς 111

Σύγκλιση σειράς 111

Re: Σύγκλιση σειράς 111

Re: Σύγκλιση σειράς 111

Re: Σύγκλιση σειράς 111

Μέλη σε σύνδεση