Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 11

#1

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με

$f_n(x)=\dfrac{n}{1+x^2}\sin\big({\frac{x}{n}}\big),\; x\in[0,+\infty),\; n\in\mathbb{N},$

συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση. Όμως, επειδή την κοίταξα αρκετά, έχω πεισθεί ότι συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 09, 2021 11:28 am
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με

$f_n(x)=\dfrac{n}{1+x^2}\sin\big({\frac{x}{n}}\big),\; x\in[0,+\infty),\; n\in\mathbb{N},$

συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση. Όμως, επειδή την κοίταξα αρκετά, έχω πεισθεί ότι συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάμπρος Κατσάπας · #3

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 09, 2021 11:28 am
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με

$f_n(x)=\dfrac{n}{1+x^2}\sin\big({\frac{x}{n}}\big),\; x\in[0,+\infty),\; n\in\mathbb{N},$

συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση. Όμως, επειδή την κοίταξα αρκετά, έχω πεισθεί ότι συγκλίνει ομοιόμορφα.

Είναι απλό να δούμε ότι η ακολουθία συγκλίνει κατά σημείο στην $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2},x\geq 0.$

Είναι, για x>0

,

$\left \| f_n(x)-f(x) \right \|= \left \| \dfrac{x}{1+x^2} \left (1-\dfrac{\sin (x/n)}{x/n} \right ) \right \|\leq \left \| \dfrac{1}{x}\left (1-\dfrac{\sin (x/n)}{x/n} \right ) \right \|$

ενώ για x=0:f_n(0)-f(0)= 0.

Θα βρούμε σταθερά

τέτοια, ώστε $\left \| \dfrac{1}{x}\left (1-\dfrac{\sin (x/n)}{x/n} \right ) \right \|\leq \dfrac{C}{n}.$

Είναι

$1-\dfrac{\sin (x/n)}{x/n} \leq \dfrac{Cx}{n}\Leftrightarrow Cy^2-y+\sin y\geq 0$ , όπου θέσαμε y=x/n>0.

Θεωρώντας την $g(y)=Cy^2-y+\sin y$ και παραγωγίζοντας δύο φορές βρίσκουμε ${g}''(y)=2C-\sin y.$

Παίρνοντας οποιοδήποτε $C\geq \dfrac{1}{2}$ έχουμε ${g}''(y)\geq 0\Rightarrow {g}'(y)>0\Rightarrow g(y)>0.$

Άρα για κάθε $C\geq \dfrac{1}{2}$ έχουμε

$\left \| \dfrac{1}{x}\left (1-\dfrac{\sin (x/n)}{x/n} \right ) \right \|\leq \dfrac{C}{n}\overset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}0$

το οποίο αποδεικνύει την ομοιόμορφη σύγκλιση.

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 11

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 11

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 11

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 11

Μέλη σε σύνδεση