Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιουν 07, 2021 3:29 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 07, 2021 7:51 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Ιουν 07, 2021 3:29 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}dx
Έχομεν και λέμε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{\sqrt{x^2+2} \sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2} \left ( 1+x^2 \right ) } \, \mathrm{d}x \\  
 &= \int \frac{x^2+2}{\left ( 1+x^2 \right ) \sqrt{x^2+2}} \, \mathrm{d}x  \\  
 &= \int \frac{x^2+1+1}{\left ( 1+x^2 \right ) \sqrt{x^2+2}} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \int \left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+2}} + \frac{1}{\left ( 1+x^2 \right ) \sqrt{x^2+2}} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &= \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \int \frac{\mathrm{d}x}{\left ( 1+x^2 \right ) \sqrt{x^2+2}} 
\end{aligned}}
Για το τελευταίο ολοκλήρωμα έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \frac{\mathrm{d}x}{\left ( 1+x^2 \right ) \sqrt{x^2+2}} &\overset{x=\sqrt{2} \tan \theta}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{\left ( \tan^2 \theta + \sec^2 \theta \right ) \sqrt{2 \tan^2 \theta + 2}} \, \mathrm{d}\theta \\  
 &= \int \frac{\sec^2 \theta}{\left ( \tan^2 \theta + \sec^2 \theta \right ) \sqrt{\tan^2 \theta + 1}} \, \mathrm{d}\theta \\  
 &= \int \frac{\sec^2 \theta}{\left ( \tan^2 \theta + \sec^2 \theta \right ) \sec \theta} \, \mathrm{d}\theta \\  
 &= \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta + \sec^2 \theta} \, \mathrm{d} \theta \\  
 &= \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta + \sec^2 \theta}\cdot \left ( \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right ) \, \mathrm{d}\theta \\  
 &= \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta + 1} \, \mathrm{d} \theta \\ 
 &= \arctan \sin \theta + c  
\end{aligned}}
Όμως,

\displaystyle{x = \sqrt 2\tan\theta \Rightarrow  \tan\theta = \frac x{\sqrt 2} \Rightarrow  \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} }
Τελικά,


\displaystyle{\int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1} \, \mathrm{d}x  = \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \arctan \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} + c \; , \; c \in \mathbb{R}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης