Όγκος στερεού 2

#1

Έστω

η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση $\displaystyle {\bf{X}}:(0,1]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} \cosh{u}\cos{v}\\ \cosh{u}\sin{v}\\ \log(\sinh{u}) \end{pmatrix}\,.$

Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας $C:\big(\frac{5}{4}\cos{t},\frac{5}{4}\sin{t},\log\big(\frac{3}{4}\big)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .
Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από:
- το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,
- το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και
- το επίπεδο $z={-\log{7}}$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 7:23 pm
Έστω η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση $\displaystyle {\bf{X}}:(0,1]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} \cosh{u}\cos{v}\\ \cosh{u}\sin{v}\\ \log(\sinh{u}) \end{pmatrix}\,.$

Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας $C:\big(\frac{5}{4}\cos{t},\frac{5}{4}\sin{t},\log\big(\frac{3}{4}\big)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Να βρεθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από:

το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,

το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και

το επίπεδο $z={-\log{7}}$ .

Γρηγόρη καλημέρα από Γρεβενά...

Με τα όμορφα αλλά και έξυπνα θέματα που προτείνεις μου δίνεις
την ευκαιρία να απολαύσω τη γοητεία της ψηφιακής τεχνολογίας η οποία
μας αναπαριστά με πολύ ανάγλυφο τρόπο τον τρισδιάστατο χώρο...

Αρχικά ξεκινώ με την παράθεση μερικών σχημάτων που προέκυψαν:

Σχήμα 1ο

: Ογκος 2. 1.png (88.61 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Δεν ξέρω σε τι αναγωγές οδηγεί το σχήμα αυτό τούτην την εποχή
που αρχίζει να ανεβαίνει η θερμοκρασία!

Σχήμα 2ο

: Όγκος στερεού 2.2.png (18.02 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την καμπύλη $\displaystyle{(c)}$ του επιπέδου $\displaystyle{xOz}$ , το κέντρο και την ακτίνα του
κύκλου $\displaystyle{C}$ , το σημείο $\displaystyle{B}$ στο οποίο η καμπύλη αυτή συναντά τον κύκλο αυτό, καθώς και την
εφαπτομένη $\displaystyle{(c_1)}$ της καμπύλης αυτής η οποία θα δώσει και το κέντρο $\displaystyle{S}$ της ζητούμενης σφαίρας.

Σχήμα 3ο

: Όγκος στερεού 2.3.png (69.94 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Ένα στιγμιότυπο της εκ επιφάνειας αυτής και οι δύο κύκλοι...

Σχήμα 4ο

: Όγκος στερεού 2.4.png (95.32 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Προστέθηκε και η σφαίρα...

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 7:23 pm
Έστω η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση $\displaystyle {\bf{X}}:(0,1]\times[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,;\; {\bf{X}}(u,v)=\begin{pmatrix} \cosh{u}\cos{v}\\ \cosh{u}\sin{v}\\ \log(\sinh{u}) \end{pmatrix}\,.$

Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας $C:\big(\frac{5}{4}\cos{t},\frac{5}{4}\sin{t},\log\big(\frac{3}{4}\big)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]$ .

Να βρεθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από:

το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,

το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και

το επίπεδο $z={-\log{7}}$ .

(Συνέχεια...)

Για το ερώτημα (ii), ας δούμε τα δύο σχήματα:

1ο Σχήμα:

: Όγκος στερεού 3.1.png (88.59 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Ζητούμε τον όγκο του στερεού αυτού.
Για να αντιληφθούμε τη μορφή του στερεού αυτού ας δούμε το
δεύτερο σχήμα:

2ο Σχήμα

: Όγκος στερεού 3.2.png (78.28 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Έτσι το στερεό αυτό αποτελείται από δύο στερεά:

1ο) το σφαιρικό τμήμα με μια βάση, τον επάνω κύκλο

και

2ο) το στερεό εκ περιστροφής που περιβάλλεται από τους δύο κύκλους που βλέπουμε.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

Δίνουμε μια λύση της άσκησης:

i. Ένα κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας

στο σημείο $A\big(\frac{5}{4},0,\log\big(\frac{3}{4}\big)\big)$ - σημείο που βρίσκεται και επί της περιφέρειας $C:\big(\frac{5}{4}\cos{t},\frac{5}{4}\sin{t},\log\big(\frac{3}{4}\big)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]$ - είναι το

$\begin{aligned} \overline{n}_{A}&=\frac{4}{5}\,{\overline{X}}_u(\log{2},0)\times{\overline{X}}_v(\log{2},0)\\ &={-\frac{5}{3}}\,\overline{e}_1+\frac{3}{4}\,\overline{e}_3\\ &=\big({{-\tfrac{5}{3}},0,\tfrac{3}{4}}\big)\,. \end{aligned}$

: iscr1.png (83.87 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Επομένως η ευθεία $\overline{\ell}=\big(\frac{5}{4}-\frac{5}{3}\,t,0,\log\big(\frac{3}{4}\big)+\frac{3}{4}\,t\big)\,,\; t\in {\mathbb{R}},$ διέρχεται από το κέντρο της ζητούμενης σφαίρας

. Επειδή το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται επί του

-άξονα, πρέπει
$\displaystyle{\frac{5}{4}-\frac{5}{3}\,t=0\quad\Rightarrow \quad t=\frac{3}{4}\,. }$
Επομένως το κέντρο είναι το σημείο $B\big(0,0,\log\big(\frac{3}{4}\big)+\frac{9}{16}\big)$ .
Η ακτίνα της ζητούμενης σφαίρας ισούται με

$\displaystyle{AB=\sqrt{\Big(\frac{5}{4}-0\Big)^2+\Big(\log\big(\tfrac{3}{4}\big)-\log\big(\tfrac{3}{4}\big)-\frac{9}{16}\Big)^2}=\frac{\sqrt{481}}{16}\,.}$

Τελικά η εξίσωση της σφαίρας είναι

$x^2+y^2+\Big(z-\log\big(\tfrac{3}{4}\big)-\dfrac{9}{16}\Big)^2=\dfrac{481}{256}\,.$

ii. Το στερεό $\Sigma$ περικλείεται από την επιφάνεια -που παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης $\varGamma A\varDelta$ περί τον

-άξονα- και το επίπεδο $z=-\log{7}$ .

: iscr2.png (73.41 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Το τμήμα $\varGamma A$ έχει παραμετρική παράσταση
$\displaystyle \overline{c}_1(t)=\big(\cosh{t},0,\log(\sinh{t})\big)\,,\; t\in\big[\sinh^{-1}\big(\tfrac{1}{7}\big),\sinh^{-1}\big(\tfrac{3}{4}\big)\big]\,.$
Για το τμήμα $A\varDelta$ , αρκεί να προσδιοριστεί η γωνία $\widehat{AB\varDelta}$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\stackrel{\triangle}{ABE}$ έχουμε ότι $\cos\widehat{ABE}=\frac{9}{\sqrt{481}}=\cos\widehat{AB\varDelta}$ και, επομένως, μια παραμετρική παράσταση του τμήματος $A\varDelta$ είναι $\displaystyle \overline{c}_2(t)=\big(\tfrac{\sqrt{481}}{16}\sin{t},0,\log\big(\tfrac{3}{4}\big)+\tfrac{9}{16}-\tfrac{\sqrt{481}}{16}\cos{t}\big)\,,\; t\in\big[\arccos\big(\tfrac{9}{\sqrt{481}}\big),\pi\big]\,.$
Ο όγκος του στερεού $\Sigma_1$ που "παράγεται" από την περιστροφή της c_1

ισούται με

$\begin{aligned} V(\Sigma_1)&=\pi\int_{\sinh^{-1}(\frac{1}{7})}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{4})}\cosh^2{t}\,\frac{d}{dt}\log(\sinh{t})\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\int_{\sinh^{-1}(\frac{1}{7})}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{4})}\frac{\cosh^3{t}}{\sinh{t}}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{{\begin{subarray}{c} {u\,=\,\sinh{t}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {du\,=\,\cosh{t}\,dt} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}}\,\pi\int_{\frac{1}{7}}^{\frac{3}{4}}\frac{1+u^2}{u}\,du\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\bigg[\log{u}+\frac{u^2}{2}\bigg]_{\frac{1}{7}}^{\frac{3}{4}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\Big(\log\big(\tfrac{3}{4}\big)+\log{7}+\frac{425}{1568}\Big)\,. \end{aligned}$

Ο όγκος του στερεού $\Sigma_2$ που "παράγεται" από την περιστροφή της c_2

ισούται με

$\begin{aligned} V(\Sigma_2)&=\pi\int_{\arccos(\frac{9}{\sqrt{481}})}^{\pi}\frac{481}{256}\,\sin^2{t}\,\frac{d}{dt}\Big(\log\big(\tfrac{3}{4}\big)+\tfrac{9}{16}-\tfrac{\sqrt{481}}{16}\cos{t}\Big)\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\int_{\arccos(\frac{9}{\sqrt{481}})}^{\pi}\frac{481\sqrt{481}}{4096}\,\sin^3{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=-\frac{481\pi\sqrt{481}}{4096}\int_{\arccos(\frac{9}{\sqrt{481}})}^{\pi}\,(1-\cos^2{t})({-\sin{t}})\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{{\begin{subarray}{c} {u\,=\,\cos{t}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {du\,=\,{-\sin{t}}\,dt} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}}\,-\frac{481\pi\sqrt{481}}{4096}\int_{\frac{9}{\sqrt{481}}}^{-1}\,1-u^2\,du\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\pi\Big(\frac{2043}{2048}+{\frac {481\,\sqrt{481}}{6144}}\Big)\,. \end{aligned}$

Άρα
$V(\Sigma)=V(\Sigma_1)+V(\Sigma_2)=\dfrac {\pi}{301056}\Big( 301056\,\log\big(\tfrac{21}{4}\big) +381921+23569\sqrt{481} \Big)\,.$

Όγκος στερεού 2

Όγκος στερεού 2

Re: Όγκος στερεού 2

Re: Όγκος στερεού 2

Re: Όγκος στερεού 2

Μέλη σε σύνδεση