Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2909
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm

Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Μαρ 27, 2021 11:00 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).
Γρηγόρη καλημέρα από τα ηλιόλουστα Γρεβενά...

Κατ' αρχήν σχεδιάζουμε την παραμετρική αυτή καμπύλη.
Έτσι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Η παραμετρική αυτή καμπύλη ορίζεται, σύμφωνα με την εκφώνηση, από τη σχέση:

\displaystyle{\bar{c(t)}=(t-tanh(t),0,\frac{1}{cosh(t)}), \  \ t \in R \  \ (1)}

ή αλλιώς:

\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ 0 \\  \displaystyle\frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \  \ t \in R \  \ (2)}

Από την εξίσωση αυτή της καμπύλης \displaystyle{(c)} μπορούμε να βρούμε την παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας εκείνης

η οποία δημιουργείται από την περιστροφή αυτής κατά τον άξονα των \displaystyle{x'Ox} κατά γωνία ίση με \displaystyle{2\pi}.

Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε την μορφή του διανύσματος - στήλη της (2) με τον πίνακα στροφής

περί τον άξονα των τετμημένων ο οποίος είναι:

\displaystyle{ R_1(\theta)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0& cos(\theta)& -sin(\theta)\\ 0&  \sin(\theta)& cos(\theta) \end{pmatrix}, \theta \in [0,2\pi], \  \ (3) }

Έτσι το γινόμενο:

\displaystyle{S(\theta, t)=R_1(\theta) \cdot (\bar{c}) = \begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ \displaystyle \frac{-sin(\theta)}{cosh(t)} \\ \displaystyle \frac{cos(\theta)}{cosh(t) \end{pmatrix}, \  \ \theta \in [0,2\pi], \  \ t \in R \  \  (4) }

είναι η εξίσωση της ζητούμενης επιφάνειας η οποία φαίνεται στα κατωτέρω σχήματα:

Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 2.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 2.png (63.13 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Το σχήμα αυτό αντιστοιχεί για κάποια γωνία μικρότερη των \displaystyle{2\pi}.

Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 3.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 3.png (59.7 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Το σχήμα αυτό εμφανίζει την επιφάνεια αυτή για γωνία ίση με \displaystyle{2\pi}.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2076
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Απρ 08, 2021 7:36 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).
(Συνέχεια...)

Επιστρέφουμε πάλι στη δοθείσα καμπύλη που έχει εξίσωση:

\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix}t-tanh(t)\\0\\\ \displaystyle \frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \  \ t \in R \ \ (1)  }

και έχει την ακόλουθη μορφή:


Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Το εμβαδόν της παραγόμενης επιφάνειας από την περιστροφή αυτής γύρω από τον άξονα \displaystyle{Ox} κατά γωνία

ίση με \displaystyle{2 \pi} δίνεται από τον τύπο:

\displaystyle{S=2\pi \int_{-\propto}^{\propto} z(t)\cdot\sqrt{(x'(t))^2+(z'(t))^2} dt \  \ (2)}

Η σχέση (2) λόγω της (1) και μετά πράξεις καταλήγει:

\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(1-\frac{1}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt  }

κι ακόμα:

\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(\frac{sinh^2(t)}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt  }

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) \sqrt{sinh^2(t)+1} dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) cosh(t) dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{sinh(t)}{cosh^2(t)} dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{d(cosh(t))}{cosh^2(t)}}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} d(-\frac{1}{cosh(t)})}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi (-\frac{1}{cosh(t)}) \right|_{0}^{\propto} =...=4\pi }

Σημείωση:
Η διόρθωση του "ημαρτημένου τύπου" έγινε ύστερα από προσωπικό μήνυμα του φίλου μου
Γρηγόρη Κωστάκου τον οποίο και ευχαριστώ.
Κι ακόμα:
Η διόρθωση του τύπου έδωσε απλούστερο ολοκλήρωμα το οποίο και υπολόγισα χωρίς
τη χρήση του λογισμικού.


(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες