3 προτάσεις τοπολογίας

dopfev · #1

Καλησπέρα σας,
θα ήθελα αν γίνεται να μου πείτε αν είναι σωστή η σκέψη στις αποδείξεις τριών απλών προτάσεων που έχω βρει σε ένα βιβλίο τοπολογίας (τις δίνει σαν μικρές ασκησούλες).
α) Να δείξετε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο μετρικού χώρου είναι κλειστό.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

β) Σε τυχαίο μετρικό χώρο (X, d)

να δείξετε ότι ένα πεπερασμένο υποσύνολο του Χ με τουλάχιστον δύο στοιχεία δεν είναι συναφές.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

γ) Να δείξετε ότι αν ο $X\subset \mathbb{R}$ δεν είναι συμπαγής υποχώρος του $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ που δεν είναι φραγμένη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας!

BAGGP93 · #2

Στο β), μήπως εννοείς σε διακριτό μετρικό χώρο ; To α) είναι σωστό. Το γ), θα το ξαναδω, δεν το πολυκατάλαβα.

dopfev · #3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 11:49 pm
Στο β), μήπως εννοείς σε διακριτό μετρικό χώρο ;

Ευάγγελε έτσι το βρήκα, σε ευχαριστώ για την απάντηση. Το γ) γιατί λες ότι σε μπέρδεψε; Νόμιζα ότι ήταν προφανές αφού αναφερόταν στον R. Μπορεί να σφάλω.

BAGGP93 · #4

Σε ρωτάω γιατί γράφεις ότι τα G_1,G_2

είναι ταυτόχρονα ανοικτά και κλειστά. Αυτό δεν είναι σωστό σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο.

dopfev · #5

Κατάλαβα...για το γ);

#6

dopfev έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 11:17 pm
Καλησπέρα σας,
θα ήθελα αν γίνεται να μου πείτε αν είναι σωστή η σκέψη στις αποδείξεις τριών απλών προτάσεων που έχω βρει σε ένα βιβλίο τοπολογίας (τις δίνει σαν μικρές ασκησούλες).
α) Να δείξετε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο μετρικού χώρου είναι κλειστό.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ένα πεπερασμένο σύνολο $A=\left \{ x_1,x_2,...,x_n \right \}=\left \{ x_1 \right \}\cup \left \{ x_2 \right \}\cup ...\cup \left \{ x_n \right \}$ είναι στην ουσία ένωση κλειστών μονοσυνόλων. Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο οπότε απεδείχθη.
β) Σε τυχαίο μετρικό χώρο να δείξετε ότι ένα πεπερασμένο υποσύνολο του Χ με τουλάχιστον δύο στοιχεία δεν είναι συναφές.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω ότι ο Χ έχει δύο στοιχεία: $X=\left \{ x_1,x_2 \right \}=\left \{ x_1 \right \}\cup \left \{ x_2 \right \}$ . Έστω $G_1=\left \{ x_1 \right \},G_2=\left \{ x_2 \right \}$ . Τα είναι κλειστά ως μονοσύνολα άρα είναι και ανοικτά. Αφού ισχύει $X=G_1\cup G_2,G_1\neq \varnothing G_2\neq \varnothing,G_1\cap G_2=\varnothing$ τότε ο Χ δεν είναι συναφής.(Αυτό φαίνεται αμέσως και από το ότι τα είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά) Μπορούμε να το γενικεύσουμε και για μεγαλύτερο αριθμό στοιχείων.
γ) Να δείξετε ότι αν ο $X\subset \mathbb{R}$ δεν είναι συμπαγής υποχώρος του $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ που δεν είναι φραγμένη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω ο Χ δεν είναι συμπαγής και κάθε συνάρτηση $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ είναι φραγμένη. Αφού f φραγμένη τότε $\exists M:\left | f(x) \right |\leq M$ . Τότε θα ισχύει $f(A)\subseteq [-M,M]$ .Το στον $\mathbb{R}$ είναι κλειστό και φραγμένο άρα συμπαγές. Αφού η f είναι συνεχής (από υπόθεση) πρέπει και ο Χ να είναι συμπαγής, άτοπο. Άρα αν ο Χ δεν είναι συμπαγής υπάρχει συνεχής συνάρτηση που δεν είναι φραγμένη.
Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας!

α) Σωστή η απόδειξη αλλά πρέπει κάπου να ειπωθεί ή αποδειχθεί ότι τα μονοσύνολα είναι κλειστά. Είναι μεν τετριμμένο αλλά και η ίδια η άσκηση είναι τετριμμένη. Άλλος τρόπος είναι να δείξεις ότι το συμπλήρωμα είναι ανοικτό. Απόδειξη: Αν

στοιχείο του συμπληρώματος τοτε τα (μη μηδενικά) $d(t,x_1),..., \,d(t,x_k)$ ως πεπερασμένα το πλήθος έχουν ελάιστο στοιχείο, έστω

. Τότε η

προφανώς δεν περιέχει κανένα από τα x_m

, άρα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο συμπλήρωμα. Άρα το συμπλήρωμα είναι ανοικτό. Υπόψη ότι η απόδειξη ότι τα μονοσύνολα είναι κλειστά (που χρησιμοποίησες χωρίς να αποδείξεις) είναι ακριβώς αυτό που γράφω αλλά για k=1

. Κατά τα άλλα, το ίδιο.

β) Είναι τετριμμένο από το α), και δεν υπάρχει λόγος να γίνει απόδειξη μόνο για δύο στοιχεία. Η απόδειξη πλατειάζει για την αξία της άσκησης: Πιο απλά, αν $X= \{x_1,...,x_k\}$ τότε $X=\{x_1\} \cup \{x_2,...,x_k\}$ . Από το α) τα $\{x_1\}$ και $\{x_2,...,x_k\}$ είναι και τα δύο κλειστά άρα και τα δύο ανοικτά (ως συμπληρώματα κλειστών). Τελειώσαμε.

Το σχόλιο του Βαγγέλη στο ποστ #2 είναι άσχετο με το θέμα. Δεν μας αφορά. Δεν εμπίπτει στα της άσκησης.

γ) Η δοθεία απόδειξη είναι λάθος ή έστω έχει ουσιαστικό κενό, πέρα από το τυπογραφικό ότι δεν υπάρχει σύνολο

αλλά υποθέτω ότι εννοείς

. To λάθος/κενό στον συλλογισμό είναι στο σημείο που λες "αφού η f είναι συνεχής (από υπόθεση) πρέπει και ο Χ να είναι συμπαγής". Το αντίστροφο είναι σωστό. Δεν βλέπω πώς βγαίνει αυτό που ισχυρίζεσαι (είναι ισοδύναμο του αποδεικτέου).

Υπόδειξη για σωστή απόδειξη: Αν

μη συμπαγές τότε είναι είτε μη φραγμένο είτε όχι κλειστό (γιατί αν ήταν και τα δύο, θα ήταν συμπαγές). Αν είναι μη φραγμένο τότε η συνάρτηση f(x) =x

κάνει την δουλειά. Αν το

είναι μη κλειστό, τότε υπάρχει x_o

στην κλειστή θήκη του αλλά όχι στο

. Tότε η $\dfrac {1}{x-x_o}$ στον

κάνει την δουλειά. Γενικότερα, για οποιονδήποτε μη κλειστό υποσύνολο

μετρικού χώρου (όχι μόνο υποσύνολο του $\mathbb R$ ) συνάρτηση $f: X \to \mathbb R$ με $f(x) = \dfrac {1}{d(x,x_o) }$ είναι συνεχής (γιατί;) και μη φραγμένη (γιατί;).

Edit: Έκανα μικρή απλοποίηση στις τρεις τελευταίες γραμμές. Επειδή η άσκηση μιλά για υποσύνολο

του συνόλου των πραγματικών αριθμών, τα πράγματα είναι πιο απλά. Άφησα όμως και την γενίκευση.

dopfev · #7

γ) Η δοθεία απόδειξη είναι λάθος ή έστω έχει ουσιαστικό κενό, πέρα από το τυπογραφικό ότι δεν υπάρχει σύνολο αλλά υποθέτω ότι εννοείς . To λάθος/κενό στον συλλογισμό είναι στο σημείο που λες "αφού η f είναι συνεχής (από υπόθεση) πρέπει και ο Χ να είναι συμπαγής". Το αντίστροφο είναι σωστό. Δεν βλέπω πώς βγαίνει αυτό που ισχυρίζεσαι (είναι ισοδύναμο του αποδεικτέου).

κ.Λάμπρου ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας. Ναι τυπογραφικό είναι το Α και φυσικά έχετε δίκιο, αφού είναι σαν να λέω ότι μπορώ να έχω στον $\mathbb{R}$ ένα ανοικτό σύνολο και δεν μπορεί να έχει εικόνα κλειστό σύνολο.

Υπόδειξη για σωστή απόδειξη: Αν μη συμπαγές τότε είναι είτε μη φραγμένο είτε όχι κλειστό (γιατί αν ήταν και τα δύο, θα ήταν συμπαγές). Αν είναι μη φραγμένο τότε η συνάρτηση κάνει την δουλειά. Αν το είναι μη κλειστό, τότε υπάρχει στην κλειστή θήκη του αλλά όχι στο . Tότε η $\dfrac {1}{x-x_o}$ στον κάνει την δουλειά. Γενικότερα, για οποιονδήποτε μη κλειστό υποσύνολο μετρικού χώρου (όχι μόνο υποσύνολο του $\mathbb R$ ) συνάρτηση $f: X \to \mathbb R$ με $f(x) = \dfrac {1}{d(x,x_o) }$ είναι συνεχής (γιατί;) και μη φραγμένη (γιατί;).

Στη συνήθη μετρική του $\mathbb{R}$ η συνάρτηση $f(x) = \dfrac {1}{d(x,x_o) }$ αντιστοιχεί στην ουσία σε υπερβολή που προφανώς είναι συνεχής και μη φραγμένη. Γενικά σε κάθε μετρικό χώρο πρέπει να αποδείξουμε τα (γιατί;) που έχετε; Ευχαριστώ και πάλι!

#8

dopfev έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 13, 2021 11:02 am
αφού είναι σαν να λέω ότι μπορώ να έχω στον $\mathbb{R}$ ένα ανοικτό σύνολο και δεν μπορεί να έχει εικόνα κλειστό σύνολο.

Σωστά. Για όσους δεν το βλέπουν ας δούμε παράδειγμα: Η εικόνα του ανοικτού $(0,\,2\pi)$ υπό την $\sin x$ είναι το κλειστό $[-1,\,1]$ .

dopfev έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 13, 2021 11:02 am
Γενικά σε κάθε μετρικό χώρο πρέπει να αποδείξουμε τα (γιατί;) που έχετε;

Σωστά. Αποδεικνύεται ότι η f(x)=d(x,x_o)

είναι συνεχής σε κάθε $p\in X$ . Έπεται εύκολα από την τριγωνική ανισότητα στην μορφή

$|f(x)-f(p)|= |d(x,x_o)-d(p,x_o)| \le d(x,p)$

(ακόμα καλύτερα, αυτό δείχνει ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής). Τώρα, με δεδομένη την συνέχεια της d(x,x_o)

, η συνέχεια της $\displaystyle{\dfrac {1}{d(x,x_o)}}$ είναι άμεση.

Το ότι η $\displaystyle{\dfrac {1}{d(x,x_o)}}$ είναι μη φραγμένη στο

έπεται από το γεγονός ότι $x_o\in \bar X-X$ , άρα υπάρχει ακολουθία (x_k)

στοιχείων

με $0\ne d(x_k,x_o) \to 0$ .

dopfev · #9

Πολύ ωραία, ευχαριστώ!

#10

dopfev έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 11:17 pm

α) Να δείξετε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο μετρικού χώρου είναι κλειστό.

hide Ένα πεπερασμένο σύνολο $A=\left \{ x_1,x_2,...,x_n \right \}=\left \{ x_1 \right \}\cup \left \{ x_2 \right \}\cup ...\cup \left \{ x_n \right \}$ είναι στην ουσία ένωση κλειστών μονοσυνόλων. Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο οπότε απεδείχθη.

Ένας ωραίος (γνωστός) τρόπος να δείξουμε το παραπάνω είναι με ακολουθίες, συγκεκριμένα να δείξουμε ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (y_k)

στοιχείων του

έχει το όριό της κάποιο στοιχείο του

. Πράγματι, αφού τo κάθε ένα από τα άπειρα y_k

είναι κάποιο από τα πεπερασμένα το πλήθος x_1,x_2,...,x_n

σημαίνει ότι κάποιο από τα τελευταία λαμβάνεται άπειρες φορές. Έστω λοιπόν ότι ένα τέτοιο είναι το x_m

, και ότι με την σειρά τους $y_{k_j}=x_m$ . Aλλά τότε η (σταθερή) αυτή υπακολουθία έχει όριο x_m

. Όμως το όριο μιας υπακολουθίας είναι το ίδιο με το όριο της αρχικής ακολουθίας (ιδιότητα των Μετρικών Χώρων). Τελικά, η αρχική έχει όριο $\lim y_k=x_m\in A$

dopfev · #11

Ωραίος τρόπος με τον ακολουθιακό ορισμό του κλειστού συνόλου!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Να σημειώσω το εξής
Ισχύει
Αν

μετρικός χώρος και κάθε $f:X\rightarrow \mathbb{R}$
είναι φραγμένη τότε ο

είναι συμπαγής.
Δεν ισχύει για τοπολογικούς χώρους το παραπάνω.

Οι τοπολογικοί χώροι που είναι Hausdorff και ισχύει λέγονται
pseudocompact.

Η απόδειξη πάει ως εξής για τους μετρικούς χώρους.
Αν ο

δεν είναι συμπαγής τότε η δεν θα είναι ολικά φραγμένος η δεν θα είναι πλήρης.
Αν δεν είναι πλήρης παίρνουμε την πλήρωση του και μπορούμε να φτιάξουμε συνεχή
μη φραγμένη όπως ο Μιχάλης.
Αν δεν είναι ολικά φραγμένος τότε υπάρχει ακολουθία στοιχείων του με $d(x_i,x_j)\geq \epsilon ,i\neq j$
Φτιάχνουμε συνεχή συνάρτηση με $f(x_{n})=n$

3 προτάσεις τοπολογίας

3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Re: 3 προτάσεις τοπολογίας

Μέλη σε σύνδεση