Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

sot arm
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τετ Αύγ 14, 2019 6:37 pm

Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} όπου \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε \forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N και για κάθε διάστημα I στο [0,1] να ισχύει:

\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}

Να δειχθεί ότι η f_{n} συγκλίνει ομοιόμορφα στην f σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;


Αρμενιάκος Σωτήρης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 15, 2019 12:38 am

sot arm έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 6:37 pm
Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} όπου \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε \forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N και για κάθε διάστημα I στο [0,1] να ισχύει:

\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}

Να δειχθεί ότι η f_{n} συγκλίνει ομοιόμορφα στην f σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;
Θα γράψω μια απόδειξη η οποία είναι και για μη φραγμένα διαστήματα καθώς και
για τον \mathbb{R}^{n}
(το διάστημα είναι μπάλα η κύβος)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι f=0

Χρειαζόμαστε τα εξής

1)f_{n}\rightarrow 0 a.e\Leftrightarrow  esssup|f_{n}|\rightarrow 0

2)Αν έχουμε ένα σύνολο A θετικού μέτρου τότε υπάρχει
I ώστε  |A\cap I|> c|I|
όπου c σταθερά που εξαρτάται από την διάσταση.
(ισως και να μην εξαρτάται ,αλλά δεν είναι αυτό το θέμα μας)

Εστω ότι δεν έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση.

Θα υπάρχει b>0 και υπακολουθία που χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε όλη
την ακολουθία ώστε

esssup|f_{n}|\geq b για όλα τα n

Παίρνουμε n αρκετά μεγαλο και \epsilon
που θα το ορίσουμε αργότερα.

Επειδή |\left \{ |f_{n}|>\frac{b}{2}| \right \} |> 0

λόγω του 2) και συμβολίζοντας το παραπάνω σύνολο με A
έχουμε

c|I|\frac{b}{2}\leq \frac{b}{2}|A\cap I|\leq \int _{A\cap I}|f_{n}|\leq \int _{I}|f_{n}|\leq \epsilon |I|

η τελευταία δείχνει ότι αν είχαμε πάρει \epsilon =c\frac{b}{10}

έχουμε ΑΤΟΠΟ.

Σωτήρη για τυχόν απορίες γράφεις.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Αύγ 15, 2019 1:44 pm

sot arm έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 6:37 pm
Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} όπου \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε \forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N και για κάθε διάστημα I στο [0,1] να ισχύει:

\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}

Να δειχθεί ότι η f_{n} συγκλίνει ομοιόμορφα στην f σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;
Έστω \epsilon >0 τότε \exists N, \forall n\geq N και για κάθε διάστημα I στο [0,1] να ισχύει:

\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\frac{\epsilon}{2} \lambda (I)}

Έστω n \geq N τότε A_n :=\{t \in [0,1] : |f_n(t)-f(t)| \geq \epsilon\} είναι μετρίσιμο. Υποθέτουμε προς άτοπο ότι \lambda(A_n)>0.
Τότε υπάρχει ακολουθία ξένων ανά δύο , ανοιχτών διαστημάτων (I_k)_{k \in \mathbb{N}} ώστε :
A_n\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k και \lambda(A_n)\leq \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k)<2\lambda(A_n)

'Εστω m \in \mathbb{N} :

\int _{\bigcup_{k=1}^{m}I_k}|f_n-f|=\sum_{k=1}^{m} \int _{I_k}|f_n-f|<\frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{m}l(I_k)

\int _{\bigcup_{k=1}^{m}I_k}|f_n-f| \geq \int _{(\bigcup_{k=1}^{m}I_k)\cap A_n}|f_n-f|\geq \epsilon \lambda((\bigcup_{k=1}^{m}I_k)\cap A_n)

για m \to \infty έχουμε ότι

\int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f| \leq \frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k)

\int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f|  \geq \epsilon \lambda((\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k)\cap A_n)=\epsilon \lambda(A_n)>\frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k) \geq \int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f|  ΑΤΟΠΟ.

'Αρα \forall n \geq N : \lambda(A_n)=0
\lambda(\cup_{n \geq N} A_n)\leq \sum_{n\geq N} \lambda(A_n) = 0

Ορίζουμε S_{\epsilon} = \cup_{n \geq N} A_n και έχουμε ότι \lambda(S_{\epsilon})=0
Τότε προκύπτει ότι f_{n} συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο A=[0,1]\setminus \bigcup_{i \in \mathbb{N}} S_{1/i} με \lambda(A)=1
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Παρ Αύγ 16, 2019 12:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Αύγ 15, 2019 4:52 pm

Βάζω και την δικιά μου, επίσης λειτουργεί για μη φραγμένα διαστήματα και παραπάνω διαστάσεις, έστω x_{0} κοινό σημείο Lebesgue όλων των f_{n},f, το συμπλήρωμα αυτού του συνόλου έχει μέτρο 0 (γιατί;) έστω τώρα B_{x_{0}} μπάλα στην οποία ανήκει το x_{0} γράφουμε:

\displaystyle{\lambda (B(x_{0}))|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|=\int_{B(x_{0})}|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|d\lambda (t)\leq }

\diplaystyle{ \int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f_{n}(x_{0})|d\lambda (t)+\int_{B(x_{0})}|f(t)-f(x_{0})|d\lambda (t)+\int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)}

χρησιμοποιώντας τώρα την δοσμένη και διαιρώντας με το \lambda (B(x_{0})) βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\frac{1}{ \lambda (B(x_{0}))}\int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f_{n}(x_{0})|d\lambda (t)+\frac{1}{\lambda (B(x_{0}))}\int_{B(x_{0})}|f(t)-f(x_{0})|d\lambda (t)+\varepsilon}

στέλνοντας το μέτρο της μπάλας να πάει στο 0, βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\varepsilon για κάθε n μεγαλύτερο η ίσο του N. Αυτό είναι ακριβώς που θέλαμε.

Η λύση του Ιάσονα είναι παρόμοια με την λύση του κύριου Σταύρου, επίσης γεια σου Μιχάλη!


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης