όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm

Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 09, 2019 5:59 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm
Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}

Λίγο βιαστικά. Αναπτύσσουμε σε Taylor τον αριθμητή και έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} &\sim \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7)  \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\  
 &\sim \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\  
 &\sim \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\  
 &=\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) 
\end{aligned}}
που είναι και το ζητούμενο όριο.


Κώστα, τώρα αν με τα "απλά μέσα" εννοείς Λυκειακές μεθόδους .... good luck!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11109
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 6:58 pm

Τόλη, δεν αμφιβάλλω ότι η μέθοδός σου έγινε με λογισμικό (γιατί η σειρά Taylor της (cos x) ^ {sin x}, αν και θεωρητικά απλή, έχει πολλές πράξεις), οπότε δεν μετράει με κανένα κριτήριο.

Υπάρχει προσιτή μέθοδος αλλά έχει επίπονη πληκτρολόγιση. Αν μπορέσω να συντομεύσω αυτήν που έχω στον νου, θα την γράψω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 09, 2019 7:02 pm

Μιχάλη ναι ! Εβαλα και τις δυο συναρτήσεις στο Wolfram και του ζήτησα να μου εμφανίσει το Taylor της καθε μιας στο x=0. Από κει και μετά τα πράγματα ειναι εύκολα ....


Θα χαρώ να δω κάτι καλύτερο!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11109
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 7:27 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 7:02 pm
Μιχάλη ναι ! Εβαλα και τις δυο συναρτήσεις στο Wolfram και του ζήτησα να μου εμφανίσει το Taylor της καθε μιας στο x=0. Από κει και μετά τα πράγματα ειναι εύκολα ....
Είχα δίκιο, λοιπόν.
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 7:02 pm
Θα χαρώ να δω κάτι καλύτερο!
Υπάρχει καλύτερο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιαν 09, 2019 7:52 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 5:59 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm
Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}

Λίγο βιαστικά. Αναπτύσσουμε σε Taylor τον αριθμητή και έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} &\sim \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7)  \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\  
 &\sim \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\  
 &\sim \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\  
 &=\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) 
\end{aligned}}
που είναι και το ζητούμενο όριο.


Κώστα, τώρα αν με τα "απλά μέσα" εννοείς Λυκειακές μεθόδους .... good luck!
Εγώ δεν ξέρω από λογισμικά και τέτοια.Ξέρω όμως ότι το παραπάνω δεν είναι Μαθηματικά σωστό.
Το σωστό είναι

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7)  \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\  
 = \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\  
 = \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\  
 =\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) 
\end{aligned}} και μετά παίρνοντας το x\rightarrow 0

το όριο είναι \frac{1}{4}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 10, 2019 10:21 am

Είναι εύκολο να δειχθεί με DHL ότι

\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\frac{(1-t)^{\frac{1}{2}}-1+\frac{t}{2}}{t^{2}}=-\frac{1}{8}

οπότε

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-x^3)^{\frac{1}{2}}-1+\frac{x^3}{2}}{x^{6}}=-\frac{1}{8}(1)

Για το άλλο γράφουμε

\displaystyle (\cos x)^{\sin x}=exp(\sin x\ln \cos x)=
=1+\sin x\ln \cos x+\frac{1}{2}(\sin x\ln \cos x)^{2}+\frac{1}{6}(\sin x\ln \cos x)^{3}+....

Χρησιμοποιώντας ότι
\displaystyle \sin x=x(1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+....)

\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+...

και

\displaystyle \ln \cos x=\ln ((\cos x-1)+1)=(\cos x-1)-\frac{(\cos x-1)^{2}}{2}+..
=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+cx^{6}+...

καταλήγουμε στο ότι

\displaystyle (\cos x)^{\sin x}=exp(\sin x\ln \cos x)=1-\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{6}}{8}+dx^{7}+...(2)

Από τις (1) (2) υπολογίζουμε το όριο.

Θα μπορούσε και η (2) να γίνει με σχολική ύλη .
Θα είχε άπειρη πληκτρολόγηση και κάποια ''φυσιολογικά'' θα τα κάναμε ''ακροβατικά''


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8105
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 11, 2019 4:21 pm

Για το \cos{x}^{\sin{x}} μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το (γενικευμένο) διωνυμικό θεώρημα. Για x ώστε |cos(x)-1| < 1 (το οποίο ισχύει σε μια περιοχή του μηδενός εκτός από το x=0) έχουμε

\displaystyle  \begin{aligned} 
\cos{x}^{\sin{x}} &= (1 + (\cos{x}-1))^{\sin{x}} \\ 
&= \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{\sin{x}}{n} (\cos{x}-1)^n \\ 
&= 1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\right)\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) + \frac{1}{2} \left(x + O(x^3)\right) \left(-1+x + O(x^3)\right)\left(-\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)^2 + O(x^7) \\ 
&= 1 + \left(- \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + \frac{x^5}{12} + O(x^7)\right) + \left(-\frac{x^5}{8} + \frac{x^6}{8} + O(x^7) \right) + O(x^7) \\ 
&= 1 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^6}{8} + O(x^7) 
\end{aligned}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες