Ο Εκθέτης Νο23

[nsmavrogiannis]

O Εκθέτης Νο 23
Από τον Εκθέτη (http://ekthetis.gr/) κυκλοφόρησε το 23ο Φύλλο με την μελέτη του Γιώργου Ρίζου
"Η αναγκαιότητα ενίσχυσης της γεωμετρικής σκέψης στην ελληνική εκπαίδευση. Μια μελέτη και μια πρόταση με αφορμή ένα θέμα των πανελλαδικών εξετάσεων."
Μπορεί να μεταφορτωθεί. όπως και τα προηγούμεν φύλλα του Εκθέτη, από τον σύνδεσμο:
http://ekthetis.gr/archive.html

[kkala]

Και βέβαια πρέπει να αναβαθμισθεί το μάθημα της (Ευκλείδειας) Γεωμετρίας στη μέση εκπαίδευση, διότι προάγει τη λογική νοικοκυρεμένη σκέψη περισσότερο από κάθε άλλο μάθημα. Το άρθρο του Γιώργου Ρίζου στον "Εκθέτη" Νο 23 θίγει ένα σοβαρό θέμα, που έχει ανακινηθεί και στο παρελθόν, π.χ. στην ημερίδα του γεωμέτρη Ν. Δ. Νικολάου (Αθήνα, ΤΕΕ, Νοεμ 2018). Γίνονται κάποιες παρεμβάσεις από ΕΜΕ, έστω και σαν προσπάθειες? Είμαι πολύ μακριά από την εκπαίδευση, το μόνο που αισθάνομαι είναι η απαξίωση αυτού του τόσο χρήσιμου μαθήματος με το χρόνο. Δεν είναι εύκολη η αντιστροφή της πορείας αυτής (που φαίνεται παγκόσμια), αλλά αξίζει τον κόπο, το όφελος για τον μαθητή θα είναι μεγάλο.
Αλλά ποιός ο αντικειμενικός σκοπός της αναβάθμισης του μαθήματος? Η εισαγωγή του στις εισαγωγικές εξετάσεις σαν μάθημα, ενεξάρτητο από άλλους μαθηματικούς κλάδους. Μόνο έτσι ο μαθητής θα γίνει ικανός να λύνει γεωμετρικά προβλήματα με ανάλυση, σύνθεση, απόδειξη, διερεύνηση, ώστε να εξασκεί τη σκέψη του στη συστηματική αντιμετώπιση κάποιου συγκεκριμένου θέματος, αφού πρώτα το εκφράσει μαθηματικά.
Καί κάποιες δευτερεύουσες σημειώσεις με αφορμή το δημοσίευμα.
1. Η σχολική πρακτική Γεωμετρία του Ν. Δ. Νικολάου δεν αναφέρει σχέση διακέντρου και ακτίνων εφαπτόμενων περιφερειών, ούτε αυτή του Χρ. Μπαρμπαστάθη. Άρα δεν μπορεί να ισχυρισθεί κάποιος "παλιός" ότι ο μαθητής ήξερε τη σχέση αυτή από την προηγούμενη πρακτική Γεωμετρία (εκτός και αν συμπεράνει τούτο απο την αναφερόμενη κατασκευή της εφαπτόμενης περιφερείας, απίθανο για μαθητή Γυμνασίου).
2. Έχουν γίνει και στο παρελθόν λάθη όσον αφορά ισχύ κάποιας (προς απόδειξη) πρότασης σε οξυγώνια ή μη τρίγωνα. Ενδεικτικά το εμβαδον (οξυγωνίου) τριγώνου ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου επί την ημιπερίμετρο του ορθικού τριγώνου (μόνο ο Νικολάου βρήκα να διευκρινίζει το "οξυγώνιο" σε βιβλίο του).
Επίσης στις εξετάσεις 1967, Θετική κατεύθυνση, το 3ο πρόβλημα της τριγωνομετρίας ζητούσε απόδειξη ανισωτικής σχέσης σε τρίγωνο, που ίσχυε γενικά μόνο αν η γωνίες Β και Γ του τριγώνου ήσαν οξείες (όπως έγραψε ο Αρ. Πάλλας) . Για κάποιες τιμές αμβλείας γωνίας (της Β ή Γ) η σχέση ίσχυε, για κάποιες άλλες όχι. Το Υπουργείο ανακοίνωσε ότι τούτο περιλαμβάνετο στη διερεύνηση, αλλά απλά κάλυπτε το λάθος. Το πρόβλημα δεν ζητούσε διερεύνηση, για την οποία άλλωστε δεν επαρκούσε ο χρόνος.

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Η θαυμάσια εργασία του Γιώργου φέρνει στην επιφάνεια χρόνιες παθογένειες της ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης και επιδέχεται πολλαπλές αναγνώσεις. Καταγράφω πρόχειρα μερικές από αυτές, και είναι βέβαιο ότι η συζήτηση θα αναδείξει πολλές ακόμη.
α) Δείχνει την ευκολία με την οποία μια επιτροπή θεματοδοτών οδηγείται σε αστοχίες όταν – μέσα στις άθλιες συνθήκες με τις οποίες γίνεται η επιλογή των θεμάτων – επιχειρεί να συνδυάσει τα «πίτουρα με τις κότες» (επί του προκειμένου, τα «υπαρξιακά» θεωρήματα της Ανάλυσης με τα ισοσκελή τρίγωνα και τους κύκλους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας).
β) Δείχνει τη δημοσιογραφική ελαφρότητα με την οποία εκπέμπεται ο λόγος μεγάλου μέρους της μαθηματικής κοινότητας την περίοδο διεξαγωγής των πανελλαδικών εξετάσεων: Ακατάσχετη ασκησιολογία τις παραμονές, θριαμβολογία («τα πιάσαμε») ή αναθέματα ανήμερα, περιπτωσιολογία και αγωνία για τα «μόρια που θα κοπούν» την επαύριον.
γ) Δείχνει ότι ένα προβληματικό θέμα, που διαμορφώθηκε μέσα στα άγρια μεσάνυχτα από μια άσκηση του σχολικού βιβλίου, μπορεί να γίνει αντικείμενο ενδιαφέρουσας μαθηματικής, διδακτικής και ιστορικής έρευνας με αναπάντεχες διασυνδέσεις και προεκτάσεις. Πόσοι γνωρίζαμε π.χ. ότι το προβληματικό θέμα και η άσκηση του σχολικού βιβλίου ήταν λυμένα με άψογο τρόπο σε μια εργασία που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Ευκλείδης Γ΄ το 1991;
δ) Δείχνει ότι το ανακυκλούμενο δόγμα «η Ευκλείδεια Γεωμετρία θα αναβαθμιστεί μόνο όταν γίνει εξεταζόμενο μάθημα στις πανελλαδικές», απλώς θολώνει τα νερά και συντηρεί την απόλυτη αδράνεια. Στη σελίδα 7 (δεξιά στήλη) της εργασίας του ο Γιώργος επαναδιατυπώνει το επίμαχο θέμα των εξετάσεων και διατυπώνει μια απλή, απλούστατη πρόταση μεγάλης σημασίας για την πολυπόθητη αναβάθμιση. Αξίζει να τη μελετήσουμε και να καταθέσουμε απόψεις και ιδέες για την υλοποίησή της.

Γιάννης Θωμαΐδης

[kostas.zig]

Πρώτα απ' όλα συγχαρητήρια για την εξαιρετική δουλειά του Γιώργου στην εργασία αυτή και τις σχετικές παρατηρήσεις από τους Γιάννη Θωμαΐδη και Νίκο Μαυρογιάννη.

Σίγουρα χρειάζεται να δώσουμε ιδιαίτερη σημασία ΚΑΙ στον τρόπο που ο Γιώργος προτείνει (και αναφέρει ο Γιάννης), στην σελίδα 7 της εργασίας του. Ο ίδιος, φυσικά, αναφέρει στην αρχή της εργασίας αυτής του σχετικούς προβληματισμούς, που στην πράξη μας οδηγούν στο "χαμήλωμα" του πήχη. Βλέποντας και τα σχετικά αποτελέσματα των εξετάσεων, (δεν βάζω αντίστοιχη παραπομπή)· αντιλαμβανόμαστε ότι χρειάζεται αρκετή δουλειά και σε πολλά επίπεδα ώστε η πρόταση του Γιώργου και πολλών άλλων φυσικά συναδέλφων να μπορέσει να πραγματοποιηθεί!

Εύχομαι αρκετοί, αν όχι πολλοί να έχουν διαβάσει και προβληματιστεί με αφορμή αυτή την εξαιρετική εργασία!

[kkala]

Με ποιό σκεπτικό "το ανακυκλούμενο δόγμα «η Ευκλείδεια Γεωμετρία θα αναβαθμιστεί μόνο όταν γίνει εξεταζόμενο μάθημα στις πανελλαδικές», απλώς θολώνει τα νερά και συντηρεί την απόλυτη αδράνεια" ; (#3, Γιάννης Θωμαϊδης). Τα μαθήματα που δεν εξετάζονται στις πανελλαδικές θεωρούνται δευτερεύοντα και ο πιεζόμενος μαθητής φροντίζει απλά να τα περάσει με το λιγότερο δυνατό διάβασμα (ιδίως σήμερα). Πιστεύω ότι πρέπει να εισαχθεί η Ευκλείδεια Γεωμετρία στις εισαγωγικές εξετάσεις, αλλά δεν έχω εκπαιδευτική πείρα. Πιθανόν υπάρχει κάτι που δεν ξέρω.

Από εκθέτη Νο 23, σελίδα 7:
" Στην ενίσχυση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών θα συνέβαλε μια μορφή διατύπωσης των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων με ερωτήματα που απαιτούν γεωμετρικές γνώσεις και ικανότητα γεωμετρικών συλλογισμών. Η σταθερή εμφάνιση ενός τέτοιου θέματος κάθε χρόνο μπορεί να συμβάλει πολύ πιό αποτελεσματικά στην αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, από οτι η ένταξή της στα εξεταζόμενα μαθήματα..."
Πράγματι θα ενίσχυε τη γεωμετρική σκέψη, όχι όμως σε τέτοιο βαθμό ώστε να αποτρέψει την πορεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προς τον αργό θανάτό της (κατά εκτίμησή μου βέβαια). Δηλαδή σε ένα ξερό τυπολόγιο (χωρίς πολλές αποδείξεις) που αργότερα θα ενσωματωθεί στην τριγωνομετρία. Τα πραγματικά γεωμετρικά προβλήματα είναι τόποι και κατασκευές (με ανάλυση, σύνθεση, απόδειξη, διερεύνηση) και δύσκολα θα υπεισέλθουν τέτοιες έννοιες σε εξετάσεις άλλων μαθηματικών κλάδων.

Σήμερα υπάρχει πνεύμα διεύρυνσης των μαθηματικών που θα εξετάζονται στις εισητήριες εξετάσεις. Γιατί δεν μπορεί να έχουμε και Ευκλείδεια Γεωμετρία σε αυτές; Έστω και μαζί με τριγωνομετρία, όπως είχε γίνει κάπου στο τέλος της δεκαετίας του 1970. Σκέτη Γεωμετρία ίσως δεν μπορεί τώρα να μπεί, αργότερα βλέπουμε. Επηρρεαζόμαστε βέβαια και από το τι γίνεται στο εξωτερικό.

Ενώ όλοι σχεδόν αναγνωρίζουν τη χρησιμότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, είναι γεγονός ότι το μάθημα απαιτεί μια ιδιαίτερη προσπάθεια. Οι παλιοί είχαν την πεποίθηση ότι η προσπάθεια αυτή αξίζει τον κόπο, οι νέοι όμως; Μια απόφαση που θα καθορίσει το μέλλον του μαθήματος θα ήταν χρήσιμη, αντί να περιμένουμε μοιραία την εξέλιξη. Εδώ υπάρχει (από ο,τι αντιλαμβάνομαι) αδράνεια. Και διδάσκονται πράγματι Ευκλείδεια Γεωμετρία οι φοιτητές των μαθηματικών στα Πανεπιστήμια, ή όχι; Βλέπω πρόγραμμα λίγων ωρων σε ένα έτος και μάθημα κατ' επιλογή στο Πανεπιστήμιο Πατρών ή Κρήτης, καθώς και σχόλια για ελλιπή διδασκαλία (π.χ. ένα πρόσφατα αναγνωσθέν <https://www.ischool.gr/threads/%CE%9F%C ... %B1.64229/>)

[STOPJOHN]

Συγχαρητήρια στο Γιώργο για το άρθρο του σχετικά με την Ευκλείδεια Γεωμετρία . Το πρόβλημα είναι ότι οι πολιτικοί μας μιλάνε πολύ συχνά για κριτική σκέψη και το βασικό εργαλείο ,που είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει εξοβελιστεί από τα σχολεία. Πιθανόν να μη γνωρίζουν τη χρησιμότητα της Γεωμετρίας ,αλλά μπορεί να υπάρχουν και άλλοι λόγοι . Πιστεύω ότι η Γεωμετρία θα βρει τη θέση που της αξίζει .

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Εύλογα αναρωτιέται ο κ. Καλαϊτζόγλου, ως μη εκπαιδευτικός, με ποιο σκεπτικό χαρακτήρισα «ανακυκλούμενο δόγμα που θολώνει τα νερά και συντηρεί την απόλυτη αδράνεια», την πρόταση «η Ευκλείδεια Γεωμετρία θα αναβαθμιστεί μόνο όταν γίνει εξεταζόμενο μάθημα στις πανελλαδικές εξετάσεις». Ο χαρακτηρισμός είναι όντως προκλητικός, αφού αμφισβητεί μία προσδοκία που ασπάζεται σύσσωμη η ελληνική μαθηματική κοινότητα τα τελευταία 40 χρόνια. Ο κ. Καλαϊτζόγλου, απόφοιτος του Ε.Μ.Π. τη δεκαετία του 1970, έχει βιώσει ως μαθητής και υποψήφιος τη «χρυσή εποχή» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Ε.Γ.) στη διάρκεια της οποίας:
(α) Το μάθημα διδάσκονταν επί 4 έτη, από την Γ΄ έως την ΣΤ΄ τάξη του (εξατάξιου) Γυμνασίου (αφού είχε προηγηθεί στις δύο πρώτες τάξεις μία υψηλού επιπέδου Πρακτική Γεωμετρία με έμφαση στη χρήση γεωμετρικών οργάνων).
(β) Η ύλη (διδακτέα και εξεταστέα ταυτόχρονα) κάλυπτε ένα ευρύτατο φάσμα θεμάτων από την επιπεδομετρία, τη στερεομετρία και το λεγόμενο «Συμπλήρωμα της Γεωμετρίας» (κυρίως γεωμετρικοί μετασχηματισμοί).
(γ) Όλα αυτά εξετάζονταν ως αυτοτελές μάθημα στις εισαγωγικές εξετάσεις.
(δ) Στα θέματα ακόμη και των “low-profile” μη πανεπιστημιακών σχολών (π.χ. Σχολή Εμποροπλοιάρχων), κυριαρχούσαν οι ασκήσεις που σήμερα χαρακτηρίζονται «Σύνθετα Θέματα» και τα προβλήματα γεωμετρικών τόπων και κατασκευών.
(ε) Υπήρχαν σχολικά βιβλία Ε.Γ. υψηλών γνωστικών απαιτήσεων (κυρίως η σειρά των Ιωαννίδη – Πανάκη που κυκλοφόρησε στα τέλη της δεκαετίας του 1960) αλλά και αρκετά εξωσχολικά ακόμη υψηλότερου επιπέδου.
(στ) Τελευταίο, αλλά όχι ασήμαντο: Το επίθετο «γεωμέτρης» είχε ένα ειδικό βάρος στο χώρο της εκπαίδευσης, ιδιαίτερα της φροντιστηριακής.
Όλο αυτό το «δάσος», που χρειάστηκε πολλές δεκαετίες για να αναπτυχθεί, κάηκε οριστικά και αμετάκλητα στα τέλη της δεκαετίας του 1970, μετά το διαχωρισμό της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης σε Γυμνάσιο-Λύκειο και τη βαθμιαία κυριαρχία της Ανάλυσης στην εξεταστέα ύλη των εισαγωγικών εξετάσεων. Από τότε το μάθημα της Ε.Γ. συνοδεύουν οι θλιβερές λέξεις «υποβάθμιση» και «απαξίωση», αλλά και η μόνιμη προσδοκία μιας «ανάστασης» μέσω των πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσικά η υποβάθμιση και η απαξίωση συνδέονται με συγκεκριμένες πρακτικές, για τις οποίες θα περιοριστώ σε δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα:
1) Τη φράση-κλισέ «αυτός θα πάρει όλες τις Γεωμετρίες» που ακούγεται στα περισσότερα Λύκεια κάθε Σεπτέμβριο, όταν γίνεται η ανάθεση των μαθημάτων (όπου «αυτός» είναι συνήθως κάποιος μαθηματικός που θα τοποθετηθεί στο σχολείο τους επόμενους μήνες ή ο μαθηματικός που έχει «πρόβλημα»). Εννοείται ότι οι «παλαιοί» έχουν ήδη συμπληρώσει τα ωράρια τους με ώρες Άλγεβρας και Ανάλυσης, ενώ θα μπορούσαν να κάνουν προσωρινή ανάθεση με σύμπτυξη ωρών Άλγεβρας-Γεωμετρίας έως ότου τοποθετηθεί ο νέος και στη συνέχεια την κανονική ανάθεση.
2) Στα φροντιστήρια και πολλά ιδιωτικά σχολεία τη διδασκαλία της Ε.Γ. στη Β΄ Λυκείου υποκαθιστά εδώ και χρόνια ένα ιδιότυπο, ελληνικής πατέντας “precalculus”, το οποίο πλασάρεται ως μάθημα εισαγωγής των μαθητών στην εξεταστέα ύλη της Γ΄ Λυκείου.
Τι έχει απομείνει λοιπόν από το «δάσος» της χρυσής εποχής που περιέγραψα παραπάνω; Σίγουρα υπάρχουν κάποιες νησίδες σοβαρής ενασχόλησης με την Ε.Γ. στο χώρο των διαγωνιστικών Μαθηματικών και σε λίγους μαθηματικούς ιστότοπους. Αυτή δεν περίμενε φυσικά την ένταξη της Ε.Γ. στα εξεταζόμενα μαθήματα των πανελλαδικών για να αναπτυχθεί, ούτε όμως μπορεί να λύσει τα μεγάλα προβλήματα που αντιμετωπίζει η διδασκαλία της Ε.Γ. ως μάθημα γενικής παιδείας.
Είναι γεγονός ότι τις προηγούμενες δεκαετίες έγιναν κάποιες αξιόλογες προσπάθειες ανάκαμψης. Θυμίζω τη δημοσίευση νέου προγράμματος σπουδών Ε.Γ. (1997), το διαγωνισμό συγγραφής διδακτικών βιβλίων που ακολούθησε (1998), την αύξηση των ωρών διδασκαλίας (από το 1998 ως και το 2010 η Ε.Γ. διδάσκονταν στην Α΄ Λυκείου περισσότερες ώρες από την Άλγεβρα), καθώς και την ένταξη της Ε.Γ. στα πανελλαδικώς εξεταζόμενα μαθήματα της Β΄ Λυκείου την περίοδο 1999-2004. Η σημερινή κατάσταση του μαθήματος αποδεικνύει την πλήρη αποτυχία αυτής της προσπάθειας και η μαθηματική κοινότητα οφείλει κάποτε να εξηγήσει τους λόγους.
Ακούγεται τώρα ότι στο αναμενόμενο νέο πρόγραμμα σπουδών του Λυκείου, οι γεωμετρικοί τόποι, οι κατασκευές και η στερεομετρία θα ενταχθούν στην ύλη της Γ΄ Λυκείου και θα εξετάζονται στις πανελλαδικές εξετάσεις (μαζί φυσικά με τα στοιχεία Ανάλυσης και Στοχαστικών Μαθηματικών που θα περιέχει το νέο πρόγραμμα). Μπορεί αυτό το γεγονός να επιφέρει την πολυπόθητη «ανάσταση» της Ε.Γ.;
Η διδασκαλία στην Α΄ και Β΄ Λυκείου ρίχνει όλο το βάρος στον αλγεβρικό λογισμό, επειδή αποτελεί το κύριο γνωστικό υπόβαθρο των τεχνικών της Ανάλυσης που διδάσκονται σήμερα στην Γ΄ Λυκείου. Τα γραπτά όμως της μεγάλης πλειοψηφίας των υποψηφίων στις πανελλαδικές εξετάσεις αποκαλύπτουν κάθε χρόνο ένα τραγικά χαμηλό επίπεδο αλγεβρικών γνώσεων και μια απίστευτη σύγχυση μεταξύ αλγεβρικών και αναλυτικών μεθόδων (η τελευταία εντοπίζεται συνήθως σε καλά ή πολύ καλά γραπτά). Στο νέο πρόγραμμα σπουδών διακηρύσσεται ότι η ένταξη των γεωμετρικών τόπων και κατασκευών έχει στόχο την κατανόηση της αναλυτικής και συνθετικής μεθόδου. Αυτός όμως είναι ένας πολύ πιο απαιτητικός στόχος από την εκμάθηση του αλγεβρικού λογισμού, που θα θέσει σε μεγάλη δοκιμασία διδάσκοντες και μαθητές. Αλλά όταν οι μαθητές «ζορίζονται» υπερβολικά, τότε τίθενται σε εφαρμογή οι δοκιμασμένες και αποδοτικές επικοινωνιακά μέθοδοι της «ελάφρυνσης» ή του «εξορθολογισμού», που δίνουν τη «λύση» με περικοπές και ακρωτηριασμούς της ύλης (όπως έχει επανειλημμένα συμβεί στο πρόσφατο παρελθόν). Εικάζω, ευχόμενος ταυτόχρονα να διαψευστώ, ότι οι γεωμετρικοί τόποι και οι κατασκευές θα είναι τα πρώτα θύματα αυτών των μεθόδων αν και όταν αρχίσει να εφαρμόζεται το νέο πρόγραμμα.
Ύστερα από 40+ χρόνια πλήρους και αποκλειστικής απασχόλησης στη μαθηματική εκπαίδευση θα ήμουν αθεράπευτα αισιόδοξος ή αφελής αν υποστήριζα ότι η ένταξη σήμερα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στα εξεταζόμενα μαθήματα των πανελλαδικών εξετάσεων θα φέρει την «ανάσταση». Για το λόγο αυτό κρατώ μικρό καλάθι, υποστηρίζοντας ρεαλιστικές παρεμβάσεις όπως αυτή που προτείνει στην εργασία του ο Γιώργος Ρίζος (οι οποίες βέβαια θα έπρεπε να είχαν ξεκινήσει με τρόπο συστηματικό εδώ και πολλά χρόνια).

Γιάννης Θωμαΐδης

[nsmavrogiannis]

Γεια σας. Καλή Χρονιά να έχουμε.

Ήθελα εδώ και πολύ καιρό να γράψω κάποιες σκέψεις για το θέμα που ανοίγει η ωραία εργασία του Γιώργου Ρίζου.
Επειδή όμως άπτονται του ευρύτερου θέματος των προγραμμάτων σπουδών ήμουν διστακτικός.
Ο λόγος: Τα προγράμματα σπουδών αποτελούν ή εν πάση περιπτώσει αποτυπώνουν μια πολιτισμική επιλογή που αφορά το σύνολο και για αυτό τον λόγο είναι σημαντικό να αποφευχθεί η διολίσθηση σε προσωπικές επιλογές ή εύκολες κρίσεις.

Έχοντας την τύχη να διαβάσω αρκετές φορές την μελέτη του Γιώργου είχα πολλά ερεθίσματα για σκέψη. Ωστόσο ένα υπήρξε κυρίαρχο υπό μορφήν ερωτήματος. Αν θεωρούμε αυτονόητο ότι δεν μπορεί να πάει κάποιος στις εξετάσεις χωρίς να ξέρει προπαίδεια ή να επιλύει μια δευτεροβάθμια εξίσωση τότε γιατί δεν θεωρούμε επίσης αυτονόητο ότι πρέπει να έχει κάποιες βασικές γεωμετρικές γνώσεις;
Μια σύντομη απάντηση που δεν απέχει από την αλήθεια είναι ότι η Γεωμετρία, πλέον, δεν θεωρείται σημαντική. Δεν θεωρείται ότι αποτελεί αξιόλογο μορφωτικό εφόδιο. Δεν θεωρείται ότι είναι ένα σημαντικό πολιτισμικό αγαθό που οφείλουμε να το μοιράζουμε γενναιόδωρα στα παιδιά μας. Δεν θεωρείται όμως από ποιούς; Ήδη ο Γιάννης Θωμαΐδης έχει κάνει κάποιες αναφορές. Από τις οποίες φαίνεται ότι οι συντελεστές της απαξίωσης της Γεωμετρίας είναι πολλοί. Και και για πολλούς και διαφορετικούς λόγους.

Γιατί όμως θέλουμε (όσοι θέλουμε) να διδάσκεται η Γεωμετρία; Και εδώ οι αφετηρίες δεν είναι για όλους οι ίδιες. Γράφω δύο σημαντικούς λόγους κατά την δική μου (και όχι μόνο) γνώμη:
α) Διδασκουμε Γεωμετρία για να έχουν οι μαθητές μας χρήσιμη (επιστημονικά, τεχνικά, αισθητικά) γνώση για το επίπεδο και ιδίως τον χώρο.
β) Διδάσκουμε Γεωμετρία για εξοικειωθούν οι μαθητές μας με τον παραγωγικό τρόπο προσέγγισης της γνώσης και της επικύρωσης της που ασφαλώς περιλαμβάνει

• Αποδοχή βασικών αρχών/υποθέσεων.

• Αποδεικτική διαδικασία.

Δεν είναι ο μόνος τρόπος προσέγγισης της γνώσης αλλά είναι εκείνος που προσπαθούν να υιοθετήσουν πλείστες επιστήμες όταν συγκεντρώσουν μια κρίσιμη μάζα πληροφορίας. Στην Γεωμετρία με αυτό τον τρόπο και με απλούστατα μέσα (τα σχήματα είναι απείρως απλούστερα από τα φυσικά φαινόμενα, το δικονομικό υλικό ή το κοινωνικό γίγνεσθαι), μαθαίνουμε να εκκινούμε από αποδεκτές αρχές και με αποδεκτούς κανόνες να καταλήγουμε σε συμπεράσματα. Είναι η πολιτισμική επινόηση που αναγκάζει τις ατομικές αλήθειες να γίνουν διυποκειμενικές και να περάσουν από τον βάσανο της τεκμηρίωσης. Διατρεχει τα Μαθηματικά τα οποία είναι ταυτόσημα με την απόδειξη αλλά συγχρόνως διατρέχεται από το πολιτικό αίτημα του περιορισμού της αυθαιρεσίας. Συμβαίνει δε στην Γεωμετρία (όπως στην Θεωρία Αριθμών, και την Συνδυαστικη) οι βασικές αρχές να είναι "εύλογες" και οι κανόνες συμπερασμού προσιτοί.

Ωστόσο μή εἶναι βασιλικήν ἀτραπόν ἐπί γεωμετρίαν. Η διδασκαλία της Γεωμετρίας όπως εξ' άλλου κάθε σοβαρής προσπάθειας διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Λύκειο απαιτεί μελέτη, μόχθο, προαπαιτούμενα, πειθαρχία, κατ' οίκον εργασία. Δεν είναι δυνατόν να γίνουν τα πάντα με παιγνιώδη τρόπο, δεν μπορεί το λογισμικό να τα κάνει όλα, δεν είναι δυνατόν ο συλλογισμός να υποκατασταθεί από συνεχή πειράματα με ζυγίσεις, χρωματιστά νερά και χειροτεχνίες. Η διδασκαλία της Γεωμετρίας δεν είναι ένα εθνομαθηματικό τουρ όπου σε ίση μοίρα θα μπαίνουν οι κατασκευές των φυλών της Αφρικής, τα αραβουργήματα, τα μοτίφια των παραδοσιακών κεντημάτων με τα θεωρήματα του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη. Η προσέγγιση ενός corpus γνώσης που θα δένει ένα σημαντικό ποσό πληροφορίας με αποδείξεις είναι αυτό που εν τέλει μετράει. Η διδασκαλία δεν είναι ένα αέναο χάπενιγκ σε ελάχσιτη ύλη όπου η πορεία προς την Ιθάκη και η καλή καρδιά είνα το παν.

Ανέφερα όλες αυτές τις διδακτικές δοξασίες για να γίνει αντιληπτό ότι κάτω απο την ορατή πλευρά του παγόβουνου δηλαδή των εκπαιδευτικών αρχών που διαχρονικά υποβαθμίζουν το μάθημα πλέει πολύς κόσμος που υποβαστάζει την υποβάθμιση. Και που πρόθυμα βάζει πλάτη σε εξορθολογισμούς, εξοστρακισμό ενδιαφέρουσας γνώσης και μετατροπή των Μαθηματικών σε χύδην (ο όρος προέρχεται από τον Πλάτωνα) ασύνδετες πληροφορίες.

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Στην τελευταία ενότητα της προηγούμενης ανάρτησης ο Νίκος Μαυρογιάννης προχώρησε στην ταυτοποίηση ενός άλλου «χώρου» που έχει άμεση σχέση με την υποβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Με αφετηρία την ιστορική απάντηση του Ευκλείδη στον βασιλιά Πτολεμαίο (που ζητούσε να μάθει Γεωμετρία χωρίς κόπο!), ο Νίκος περιέγραψε με γλαφυρό τρόπο ορισμένες «σύγχρονες» διδακτικές πρακτικές που συγχέουν τις έννοιες «σχολείο» και «παιδική χαρά», εξοβελίζοντας κάθε ουσιαστικό μαθηματικό περιεχόμενο από τη διδασκαλία των Μαθηματικών.
Ανάλογα φαινόμενα έχουν βέβαια διαβρώσει και τις «παραδοσιακές» πρακτικές της διδασκαλίας συμβάλλοντας ευθέως την υποβάθμιση του μαθήματος. Θα σταθώ σε ένα από αυτά, αφού πρώτα παραθέσω ένα κατάλογο «βημάτων» που θεωρώ ότι αποτελούν θεμελιώδη και αυτονόητα προαπαιτούμενα κάθε γεωμετρικής απόδειξης:
1ο βήμα: Κατανόηση του κειμένου (εκφώνηση) της πρότασης
2ο βήμα: Προσδιορισμός των δεδομένων και ζητουμένων
3ο βήμα: Κατασκευή του σχήματος
4ο βήμα: Συσχέτιση των δεδομένων με τα ζητούμενα
5ο βήμα: Διατύπωση των αποδεικτικών συλλογισμών
Τα τελευταία χρόνια έχει επικρατήσει στο χώρο της διδασκαλίας να θεωρείται «εκ των ων ουκ άνευ» ότι στα διαγωνίσματα και τις ενδοσχολικές εξετάσεις Ευκλείδειας Γεωμετρίας οι ασκήσεις που δίνονται στους μαθητές θα συνοδεύονται οπωσδήποτε από τα αντίστοιχα σχήματα. Στη διάρκεια της θητείας μου ως σχολικός σύμβουλος είχα αντιδράσει πολλές φορές σε αυτό το φαινόμενο εισπράττοντας κάθε φορά τη γνωστή δικαιολογία της αδράνειας: «Αν δεν δώσουμε έτοιμα τα σχήματα δεν πρόκειται να γράψει κανένας». Αυτή η κατάσταση «θεσμοθετήθηκε» στο βιβλίο Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου, με το οποίο είχε ξεκινήσει το 2007 μια προσπάθεια εξοικείωσης των μαθητών με την αποδεικτική διαδικασία ώστε να διευκολυνθεί η διδασκαλία στο Λύκειο. Όλες οι ασκήσεις του 1ου κεφαλαίου Γεωμετρίας αυτού του βιβλίου, που αφορούν την εφαρμογή των κριτηρίων ισότητας και ομοιότητας των τριγώνων, συνοδεύονται από τα αντίστοιχα σχήματα. Οι συνέπειες αυτής της κατάστασης είναι νομίζω προφανείς: Οι μαθητές (υποτίθεται ότι) θα εισαχθούν στην αποδεικτική διαδικασία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, χωρίς ουσιαστικά να ενσκήψουν και να ασκηθούν στα πρώτα κρίσιμα βήματα του προηγούμενου καταλόγου.
Η κατάσταση επιδεινώθηκε ακόμη περισσότερο όταν η ίδια πρακτική υιοθετήθηκε από τους δημιουργούς της πρώτης τράπεζας θεμάτων στο Λύκειο το 2014 (την οποία συνεχίζουν απτόητοι όπως διαπιστώνω, οι δημιουργοί της δεύτερης). Η ταφόπλακα θα τοποθετηθεί μάλλον όταν στις πρώτες πανελλαδικές εξετάσεις που θα διεξαχθούν με την ύλη των νέων προγραμμάτων σπουδών, όλα τα θέματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας θα συνοδεύονται από τα σχήματά τους. Ας μη ξεχνάμε ότι η εργασία του Γιώργου Ρίζου στον Εκθέτη 23, που υπήρξε αφετηρία αυτού του νήματος, ξεκίνησε από ένα προβληματικό γεωμετρικό σχήμα το οποίο συνόδευε το θέμα Γ των πανελλαδικών εξετάσεων του 2020 (ως δήθεν βοήθεια προς τους υποψηφίους!)
Για όσους εξακολουθούν να πιστεύουν ότι τα προηγούμενα δεν έχουν σχέση με την περιβόητη υποβάθμιση θα προτείνω να ξεφυλλίσουν τα σχολικά βιβλία της «χρυσής εποχής» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (για την οποία έγραψα σε προηγούμενη ανάρτηση) και να μετρήσουν τις ασκήσεις που συνοδεύονται από τα αντίστοιχα σχήματα…
(Περισσότερα για το ζήτημα της «υποβάθμισης» στην ημερίδα που διοργανώνουν τα Αρσάκεια σχολεία το Σάββατο 29 Ιανουαρίου)

Γιάννης Θωμαΐδης