mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 17, 2024 8:47 pm**

.
Πάνω από 250 εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά στο X (πρώην twitter) εδώ. Χωρίς λύσεις αλλά είναι σχετικά προσιτές, αν και συχνά πονηρές.

Όταν μπείτε στην ιστοσελίδα αυτή μην αμελήσετε να κατεβάσετε το αρχείο PowerPoint που η συγγραφέας έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες από τις εν λόγω ασκήσεις. Βάζω το λινκ, έτσι και αλλιώς, εδώ.

Δείγμα η παρακάτω άσκηση. Δίνεται ένα τεταρτοκύκλιο. Μπορείτε να θεωρήσεται ότι το δοθέν κόκκινο σχήμα είναι τετράγωνο με εμβαδόν a^2

αντί για

που δείχνει η εικόνα. Πόσο είναι το κίτρινο εμβαδόν;

Βρήκα ότι η απάντηση αρκετά απρόσμενη. Έχω λύση λίγων γραμμών αλλά θα χαιρόμουν να έβλεπα και άλλες λύσεις.
.

: kitrino emvadon.png (127.96 KiB) Προβλήθηκε 5173 φορές

Edit. Έκανα διορθώσεις στην αρχική διατύπωση.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 17, 2024 11:53 pm**

Πρόσθεσα μερικές λέξεις γιατί η αρχική εκφώνηση ήταν ελλειπής.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2024 5:38 am**

: Όμορφα.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 5101 φορές

Με :

μέσα των πλευρών του , το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν

και πλευρά $4\sqrt{3}$ και

( με Π.Θ.) το μεσαίο , έχει πλευρά

, δηλαδή εμβαδόν

, οπότε το κίτρινο εμβαδόν ισούται με

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2024 9:40 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2024 5:38 am
Με : μέσα των πλευρών του ...

Θανάση, δεν δίνεται ότι τα σημεία M,N

είναι τα μέσα των πλευρών του. Φαίνονται με το μάτι στο σχήμα σαν να είναι μέσα, αλλά δεν τα λαμβάνουμε ως τέτοια. Το αποτέλεσμα ισχύει και χωρίς την υπόθεση ότι είναι μέσα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2024 10:18 am**

Πάντως , νομίζω ότι απαιτείται κάποια επιπλέον πληροφορία π.χ ότι το μοβ είναι τετράγωνο .

Διότι φαντάζομαι ότι το ακόλουθο σχήμα δεν προβλέπεται ...

: Αυτό όχι.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 5056 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2024 10:35 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2024 10:18 am
Πάντως , νομίζω ότι απαιτείται κάποια επιπλέον πληροφορία π.χ ότι το μοβ είναι τετράγωνο .

Ναι, έχεις δίκιο. Το μοβ είναι τετράγωνο. Συγνώμη για την ταλαιπωρία. Έκανα τώρα την διώρθωση και στο αρχικό ποστ. Ευχαριστώ για την επισήμανση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 18, 2024 10:39 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 17, 2024 8:47 pm
.
Πάνω από 250 εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά στο X (πρώην twitter) εδώ. Χωρίς λύσεις αλλά είναι σχετικά προσιτές, αν και συχνά πονηρές.

Όταν μπείτε στην ιστοσελίδα αυτή μην αμελήσετε να κατεβάσετε το αρχείο PowerPoint που η συγγραφέας έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες από τις εν λόγω ασκήσεις. Βάζω το λινκ, έτσι και αλλιώς, εδώ.

Δείγμα η παρακάτω άσκηση. Δίνεται ένα τεταρτοκύκλιο. Μπορείτε να θεωρήσεται ότι το δοθέν κόκκινο σχήμα είναι τετράγωνο με εμβαδόν αντί για που δείχνει η εικόνα. Πόσο είναι το κίτρινο εμβαδόν;

Βρήκα ότι η απάντηση αρκετά απρόσμενη. Έχω λύση λίγων γραμμών αλλά θα χαιρόμουν να έβλεπα και άλλες λύσεις.
.
kitrino emvadon.png

Edit. Έκανα διορθώσεις στην αρχική διατύπωση.

Πρώτα- πρώτα με : a > b > k

και λόγω συμμετρίας έχω : k = a - b

.

Θα δείξω ότι το κίτρινο και το πράσινο μαζί κάνει το κόκκινο

: Κόκκινο ισον με πράσινο και κίτρινο.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 5045 φορές

Τι ζητώ λοιπόν , ${\left( {a + b + k} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2}$ που ισχύει γιατί εκφράζει το Π. Θ. σε ορθογώνιο τρίγωνο

Με κάθετες πλευρές : $a + b\,\,,\,\,a$ και υποτείνουσα R = a + b + k

που προφανώς ισχύει .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2024 11:08 am**

.
Σε ένα τετράγωνο πλευράς

γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο, ένα ημικύκλιο και μία διαγώνιο, όπως στην εικόνα. Πόσο είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν; (Από παλιό διαγωνισμό Καγκουρό, για μαθητές Β' και Γ' Λυκείου)
.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2024 11:22 am**

Καλημέρα.

Μετά την ανάκλαση του κάτω δρεπάνου ως προς τη διαγώνιο και την δεξιόστροφη στροφή του ''μη δρεπάνου'' κατά 90 μοίρες, διαπιστώνουμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου, δηλαδή $\dfrac{a^2}{4}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2024 12:09 pm**

Βάζω σχηματικά την ωραία λύση του Κώστα. Άλλαξα μόνο την σειρά των μετασχηματισμών, για σχεδιαστικούς λόγους.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 27, 2024 7:21 pm**

Τα $M, \, N$ είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών B=A+C

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 27, 2024 11:59 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 7:21 pm
Τα $M, \, N$ είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

Τα

είναι διάμεσοι τριγώνων οπότε ισχύουν οι ισότητες εμβαδών που αναφέρονται κάτω από το σχήμα.
Προσθέτοντας τες μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.

: ΙσότηταΕμβαδών.PNG (79.14 KiB) Προβλήθηκε 4718 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 28, 2024 12:54 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2024 7:21 pm
Τα $M, \, N$ είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

Ας είναι

(Στο σχήμα,αντί των M,N

έθεσα

)

Επειδή KE,MZ

είναι διάμεσοι των τριγώνων NKM,MLK

θα είναι

$2[(EMK)+(MZK)]=S\Rightarrow (MEKZ)= \dfrac{S}{2}$ και όμοια $(ENZL)= \dfrac{S}{2}$

Έτσι $B=\dfrac{S}{2}-(Y+\Omega)$ οπότε αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{S}{2}-(Y+\Omega)=A+C\Leftrightarrow Y+ \Omega +A+C= \dfrac{S}{2}$

που προφανώς ισχύει

: εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις στα εμβαδά.png (38.83 KiB) Προβλήθηκε 4708 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 14, 2024 11:29 pm**

Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών A+B=C

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 15, 2024 2:07 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 14, 2024 11:29 pm
Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών .

Από τα

φέρνουμε τις κάθετες επί των KL,MN

κι από το

την κάθετη προς τις KN,LM

Λόγω ισότητας των τριγώνων PQS,DRS,RET,TQI

το

είναι τετράγωνο

Άρα QH=DE=a-(x+y)

οπότε

$2C=a(x+y)=ax+ay=2A+2B \Rightarrow C=A+B$

: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις στα εμβαδά.png (25.82 KiB) Προβλήθηκε 4571 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 7:48 pm**

Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 8:44 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2024 7:48 pm
Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

Πολύ όμορφο πρόβλημα!
Ανεβάζω μια λύση μόνο για το πρώτο σχήμα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 9:30 pm**

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2024 8:44 pm
[
Πολύ όμορφο πρόβλημα!
Ανεβάζω μια λύση μόνο για το πρώτο σχήμα.

Ιάσονα, πολλή ωραία λύση. Η δική μου είναι διαφορετική και είμαι βέβαιος ότι θα την χαρείς. Βασίζεται σε μία πολύ κομψή ιδέα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 10:30 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2024 7:48 pm
Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

Για το αριστερά ευρισκόμενο σχήμα, η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κάτω μεσαίου κύκλου και το σημείο επαφής των δύο επάνω κύκλων, μας κάνει.

Για το δεξιά σχήμα, οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το κέντρο του κάτω και δεύτερου από αριστερά κύκλου και δεν τέμνει το κάτω δεξιά ούτε τον άνω αριστερά κύκλο, μας κάνει.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 10:43 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 14, 2024 11:29 pm
Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών .

Να γενικευσουμε: Αν το μικρό τετράγωνο είναι στο εσωτερικό του Μεγάλου τετραγώνου, και ορίσουμε, με ανάλογο τρόπο, την περιοχή D, τότε A+B=C+D.

mathematica.gr

Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

Re: Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά