Ιστοσελίδα προβλημάτων

Antonis Loutraris · #1

Μία ιστοσελίδα που ανακάλυψα με πάρα πολλά μαθηματικά προβλήματα
από διάφορες περιοχές.

https://www.math.purdue.edu/pow/index

Αλίευσα μία ωραία ανισότητα:

Δείξτε ότι $\displaystyle{\sin x\ge x-\frac{x^{2}}{\pi}}$ για κάθε $x\in[0,\pi].$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ας αποδείξουμε την ανισότητα

Παρατηρούμε ότι αν αντί για

βάλουμε $\pi -x$ δεν αλλάζει.

Αρα πρέπει να την αποδείξουμε στο $[0,\frac{\pi }{2}]$

Θετοντας $\frac{\pi }{2}-x$ αντί για

γίνεται $f(x)=\cos x-\frac{\pi }{4}+\frac{x^{2}}{\pi }\geq 0,x\in [0,\frac{\pi }{2}]$

$f'(x)=-\sin x+\frac{2x}{\pi }\leq 0$

Αρα είναι φθίνουσα και επειδή $f(\frac{\pi }{2})=0$
παίρνουμε το ζητούμενο.

Ιστοσελίδα προβλημάτων

Ιστοσελίδα προβλημάτων

Re: Ιστοσελίδα προβλημάτων

Μέλη σε σύνδεση