μήκος αρμονικής έλλειψης
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
μήκος αρμονικής έλλειψης
Το μήκος μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες
η εξίσωση ισχύει για
περιφέρεια μοναδιαίου κύκλου
η εξίσωση ισχύει για
περιφέρεια μοναδιαίου κύκλου
τελευταία επεξεργασία από Νίκος Παπαγεωργίου σε Πέμ Φεβ 20, 2014 11:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μαθηματικά της Μεταβολής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Δεν γνωρίζω τι θα πει αρμονική έλλειψη. Αν είναι "κανονική έλλειψη" με άλλο όνομα, τότεΝίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Το μήκος μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες
η εξίσωση ισχύει για
ο παραπάνω τύπος για την περίμετρο δεν είναι σωστός.
Ο τύπος για την περίμετρο έλλειψης δίνεται από τα λεγόμενα ελλειπτικά ολοκληρώματα το οποία
αποδεικνύεται ότι δεν γράφονται σε κλειστή μορφή, πλην ειδικών περιπτώσεων (π.χ. όταν οι ημιάξονες
είναι ίσοι μεταξύ τους, δηλαδή όταν έχουμε κύκλο). Από εκεί και πέρα έχουμε διάφορους προσεγγιστικούς τύπους
όπως ο αρκετά απλός τύπος του Ramanujan. Ο παραπάνω είναι ένας από τους γνωστούς προσεγγιστικούς.
Περισσότερα στην Wikipedia εδώ και σε πολλές άλλες πηγές.
Μ.
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
θα περιμένω την επιβεβαίωση ότι ο τύπος μου είναι γνωστός (αν είναι έτσι σημαίνει ότι κάπου - που δεν το έχω βρει - υπάρχει δημοσιευμένος) και μετά θα απαντήσω στα υπόλοιπα.
Μαθηματικά της Μεταβολής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Επιμένω ότι ο τύπος είναι προσσεγγιστικός. Πράγματι, ως προς την εγκεντρότητα , όπου (εδώ ) γράφεταιΝίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Το μήκος μιας αρμονικής έλλειψης με ημιάξονες μπορούμε να το υπολογίσουμε μετατρέποντάς την σε μοναδιαία με ημιάξονες
η εξίσωση ισχύει για
περιφέρεια μοναδιαίου κύκλου
Το ανάπτυγμα Taylor του τύπου είναι, σύμφωνα με το Maple και ελεγμένο με το χέρι, το
και ο σωστός τύπος (τον γράφει και η Wikipedia) είναι
Δηλαδή στον συντελεστή του , ο οποίος είναι αναπτυγμένη γραφή του , είναι διαφορετικός, με σφάλμα της τάξης του . Για μικρά (δηλαδή για έλλειψη που μοιάζει με κύκλο) η προσέγγιση είναι καλή. Όμως για κάποια από τα που επιτρέπει το αρχικό ποστ όπου γράφει , ισοδύναμα , και συγκεκριμένα αυτά κοντά στο άνω φράγμα, η απόκλιση είναι περί το .
Ας προσθέσω ότι υπάρχει πληθώρα προσεγγιστικών τύπων της περιμέτρου της έλλειψης. Κάποιοι έχουν λίγους όρους και είναι εύχρηστοι, αλλά η προσέγγιση μπορεί να χαλάει κάπως στα (πλακουτσωτές ελλείψεις) ενώ άλλοι έχουν καλύτερη προσέγγιση αλλά οι πράξεις είναι περισσότερες. Ενδιαφέρον και συχνότερα χρησιμοποιημένος είναι ο προσεγγιστικός τύπος του Ramanujan (τον προανέφερα), ο οποίος έχει μόνο ένα ριζικό.
Μ.
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Δείτε μια μεγάλη λίστα προσεγγιστικών τύπων για το μήκος της έλλειψης εδώ .
Με κάποιες δοκιμές που έκανα , ο τύπος που προτείνει ο Νίκος , δίνει επίσης καλές
προσεγγίσεις για "λογικό" λόγο των ημιαξόνων .
Θα ήθελε ο συνάδελφος να δώσει κάποιες περισσότερες πληροφορίες για την εργασία του ?
Με κάποιες δοκιμές που έκανα , ο τύπος που προτείνει ο Νίκος , δίνει επίσης καλές
προσεγγίσεις για "λογικό" λόγο των ημιαξόνων .
Θα ήθελε ο συνάδελφος να δώσει κάποιες περισσότερες πληροφορίες για την εργασία του ?
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
ένα ένα
Συμφωνούμε ότι ο τύπος είναι πρωτότυπος και δικός μου;
Συμφωνούμε ότι ο τύπος είναι πρωτότυπος και δικός μου;
Μαθηματικά της Μεταβολής
-
- Δημοσιεύσεις: 1156
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Πραγματικά δεν καταλαβαίνω την εμμονή!Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:ένα ένα
Συμφωνούμε ότι ο τύπος είναι πρωτότυπος και δικός μου;
Προσεγγιστικούς τύπους μπορούμε να φτιάξουμε όσους θέλουμε κάνοντας μικρές παραλλαγές στους τύπου που δίνονται εδώ.
π.χ. .
Κώστας Ζερβός
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
1. Κανένας από τους προσεγγιστικούς τύπους δεν δίνει την περιφέρεια του κύκλου
2. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από κάθε άλλο τύπο (με σχεδιαστικό πρόγραμμα η ακρίβεια είναι 6 δεκαδικών (όσα και του σχεδιαστικού δηλ.)
3. Η μεθοδολογία μου δεν βασίζεται στο ανάπτυγμα Teylor και επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του μήκους τόξου της αρμονικής έλλειψης (διότι ελλείψεις υπάρχουν πολλές και πρέπει να τις ξεχωρίσουμε)
2. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από κάθε άλλο τύπο (με σχεδιαστικό πρόγραμμα η ακρίβεια είναι 6 δεκαδικών (όσα και του σχεδιαστικού δηλ.)
3. Η μεθοδολογία μου δεν βασίζεται στο ανάπτυγμα Teylor και επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του μήκους τόξου της αρμονικής έλλειψης (διότι ελλείψεις υπάρχουν πολλές και πρέπει να τις ξεχωρίσουμε)
Μαθηματικά της Μεταβολής
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Σχεδόν όλοι οι προσεγγιστικοί τύποι , δίνουν το ακριβές μήκος του κύκλου . Πιθανόν να υπάρχει πρόβλημα
αλληλοκατανόησης , αλλά , Νίκο , θα ήθελες να μας γράψεις ποια έλλειψη ορίζεις , ως αρμονική ?
Αν ο τύπος είναι δικός σου - πράγμα που προσωπικά πιστεύω - είμαστε έτοιμοι να σε συγχαρούμε ,
εφόσον μας διαφωτίσεις κάπως για την επινόησή σου .
Βάβαια και ο ,δεν εξηγούσε πολλά , αλλά ...
αλληλοκατανόησης , αλλά , Νίκο , θα ήθελες να μας γράψεις ποια έλλειψη ορίζεις , ως αρμονική ?
Αν ο τύπος είναι δικός σου - πράγμα που προσωπικά πιστεύω - είμαστε έτοιμοι να σε συγχαρούμε ,
εφόσον μας διαφωτίσεις κάπως για την επινόησή σου .
Βάβαια και ο ,δεν εξηγούσε πολλά , αλλά ...
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
βεβαίως και θα δημοσιοποιήσω τη μέθοδο, αρκεί να γίνει άρθρο της αρχικής σελίδας, όπως υπόσχεται η συγκεκριμένη κατηγορία δημοσιεύσεων. Ο λόγος που επιμένω στο διαχωρισμό των ελλείψεων αποτελεί αυτόνομο θέμα που επίσης επιθυμώ να συζητήσουμε.
Μαθηματικά της Μεταβολής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Το αντίθετο. Σχεδόν όλοι δίνουν την σωστή απάντηση για τον κύκλο. Δεν έχει παρά να βάλει κανείς ή, ισοδύναμα, σε οποιονδήποτε προσεγγιστικό τύπο επιλέξει στην τύχη και θα το δει. Για παράδειγμα οι τύποι δυναμοσειράς που ανέφερα, ο Ivory, ο Bessel και ο Ramanujan (για να αναφέρω μόνο τους τέσσερεις πρώτους που έχει η Wikipedia) είναι ακριβείς στον κύκλο.Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:1. Κανένας από τους προσεγγιστικούς τύπους δεν δίνει την περιφέρεια του κύκλου
Δεν είναι σωστό αυτό για πολλούς λόγους. Ας γράψω δύο.Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:2. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από κάθε άλλο τύπο (με σχεδιαστικό πρόγραμμα η ακρίβεια είναι 6 δεκαδικών (όσα και του σχεδιαστικού δηλ.)
α) Όπως έδειξα, ο τύπος της δυναμοσειράς είναι καλύτερος ήδη από τον όρο του . Μάλιστα επειδή ακριβώς πρόκειται για συγκλίνουσα σειρά, έχει όση ακρίβεια θέλουμε. Όχι μόνο δεκαδικά αλλά και δεκαδικά αν θέλουμε, μπορούμε να τα έχουμε αρκεί να προσθέσουμε κατάλληλο πλήθος όρων.
β) Ο δεύτερος λόγος είναι ένα λογικό σφάλμα που κάνεις: Η σύγκρισή σου είναι με βάση ένα σχεδιαστικό πρόγραμμα. Μα το σχεδιαστικό είναι ήδη κάποια προσέγγιση (το σχεδιαστικό ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΤΗΝ ΑΚΡΙΒΗ ΤΙΜΗ της περιφέρειας έλλειψης γιατί δεν υπάρχει κλειστός τύπος). Οπότε τι συγκρίνουμε; Για παράδειγμα αν ένα λογισμικό δουλεύει με ακρίβεια δεκαδικών, λέω τώρα, θα βγάλει ως καλύτερη την προσέγγιση της από την . Μάλιστα θα πει ότι η είναι εκατό τοις εκατό σωστή! Πλην όμως το λογισμικό κάνει χονδροειδές λάθος.
Τον συλλογισμό με σειρές Taylor τον έγραψα όχι ως απόδειξη του τύπου, αλλά για σύγκριση τύπων. Στο αρχικό σου πόστ ισχυρίζεσαι ότι ο τύπος σου είναι ακριβής (για ). Πλην όμως, όπως έδειξα, δεν είναι. Και έδειξα πόσο είναι το σφάλμα. Αυτό είναι όλο.Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:3. Η μεθοδολογία μου δεν βασίζεται στο ανάπτυγμα Teylor και επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του μήκους τόξου της αρμονικής έλλειψης (διότι ελλείψεις υπάρχουν πολλές και πρέπει να τις ξεχωρίσουμε)
Θα μας πεις αν ισχυρίζεσαι ότι ο τύπος είναι ακριβής ή όχι; Αν δεν είναι, τι συζητάμε.
Μ.
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
- Επικοινωνία:
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Το πόσο ακριβής είναι ο τύπος μου το ξεκαθάρισα. Το όση ακρίβεια θέλουμε ισχύει και για τον κύκλο (ή ακρίβεια του π)
Αυτό που συζητάμε τώρα είναι, αν αξίζει να δημοσιευθεί η πρότασή μου στην αρχική σελίδα και να δειχθεί και ένας νέος τρόπος προσέγγισης του μήκους τόξου μιας έλλειψης.
Αυτό που συζητάμε τώρα είναι, αν αξίζει να δημοσιευθεί η πρότασή μου στην αρχική σελίδα και να δειχθεί και ένας νέος τρόπος προσέγγισης του μήκους τόξου μιας έλλειψης.
Μαθηματικά της Μεταβολής
-
- Δημοσιεύσεις: 106
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 09, 2009 9:44 am
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Μετά από τόσα post εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω πως μπορούμε να εξετάσουμε πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος όταν ακόμα δεν ξέρουμε τι είναι η αρμονική έλλειψη...
- Γενικοί Συντονιστές
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 511
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am
Re: μήκος αρμονικής έλλειψης
Τα μαθηματικά επιχειρήματα για το θέμα έχουν εκτεθεί επαρκώς.
Για τα μη μαθηματικά ζητήματα υπάρχουν άλλες κατάλληλες ιστοσελίδες.
Επειδή η επικοινωνία δεν είναι αμφίδρομη η παράταση της συζήτησης είναι περιττή.
Για τα μη μαθηματικά ζητήματα υπάρχουν άλλες κατάλληλες ιστοσελίδες.
Επειδή η επικοινωνία δεν είναι αμφίδρομη η παράταση της συζήτησης είναι περιττή.
Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης