Ορειβασία

[sorvats_89]

Μια ορειβατική ομάδα αρχίζει την πορεία της στις 6π.μ. και επιστρέφει χωρίς να σταματήσει στις 2μ.μ. , ακολουθώντας την ίδια διαδρομή και
στην επιστροφή. Στο ανηφορικό κομμάτι κινήθηκε με ταχύτητα 3 χιλιόμετρα ανά ώρα, στο οριζόντιο κομμάτι με 4 χιλιόμετρα ανά ώρα και στο κατηφορικό κομμάτι με ταχύτητα 6 χιλιόμετρα ανά ώρα. Πόσα χιλιόμετρα περπάτησε η ομάδα συνολικά;

Καλησπέρα σας, προσπαθώ να το λύσω με τη χρήση εξισώσεων αλλά δυσκολεύομαι.

Νομίζω έχω βρει λύση με πρακτική αριθμητική. Το 1 χ/μ ανηφόρας το κάνουμε στο 1/3 της ώρας και το 1 χ/μ κατηφόρας το κάνουμε στο 1/6 της ώρας Άρα για 2 χ/μ ανηφόρας - κατηφόρας κάνουμε 1/3+1/6 = 1/2 της ωρας, δηλαδή 4 χ/μ ανηφόρας - κατηφόρας σε 1 ώρα. Όμως 4 χ/μ ευθείας τα βγάζουμε επίσης σε 1 ώρα, συνεπώς μπορώ να θεωρήσω ότι όλη η διαδρομή είναι ευθεία: 8*4= 32 χ/μ. Συγχωρέστε με αν μου διαφεύγει κάτι, ευχαριστώ!!

[Mihalis_Lambrou]

Μια ορειβατική ομάδα αρχίζει την πορεία της στις 6π.μ. και επιστρέφει χωρίς να σταματήσει στις 2μ.μ. , ακολουθώντας την ίδια διαδρομή και
στην επιστροφή. Στο ανηφορικό κομμάτι κινήθηκε με ταχύτητα 3 χιλιόμετρα ανά ώρα, στο οριζόντιο κομμάτι με 4 χιλιόμετρα ανά ώρα και στο κατηφορικό κομμάτι με ταχύτητα 6 χιλιόμετρα ανά ώρα. Πόσα χιλιόμετρα περπάτησε η ομάδα συνολικά;

Καλησπέρα σας, προσπαθώ να το λύσω με τη χρήση εξισώσεων αλλά δυσκολεύομαι.

Νομίζω έχω βρει λύση με πρακτική αριθμητική. Το 1 χ/μ ανηφόρας το κάνουμε στο 1/3 της ώρας και το 1 χ/μ κατηφόρας το κάνουμε στο 1/6 της ώρας Άρα για 2 χ/μ ανηφόρας - κατηφόρας κάνουμε 1/3+1/6 = 1/2 της ωρας, δηλαδή 4 χ/μ ανηφόρας - κατηφόρας σε 1 ώρα. Όμως 4 χ/μ ευθείας τα βγάζουμε επίσης σε 1 ώρα, συνεπώς μπορώ να θεωρήσω ότι όλη η διαδρομή είναι ευθεία: 8*4= 32 χ/μ. Συγχωρέστε με αν μου διαφεύγει κάτι, ευχαριστώ!!

Σωστή είναι η λύση αλλά σπεύδω να τονίσω ότι το πρόβλημα είναι ευρέως γνωστό. Για παράδειγμα είχε πέσει στον Διαγωνισμό Καγκουρό το 2007, άσκηση 22 για μαθητές Α' και Β' Γυμνασίου, και σε πολλά άλλα μέρη. Η ουσία του προβλήματος είναι ότι επειδή οι ανηφόρες γίνονται κατηφόρες στην επιστροφή, και ανάποδα, η μέση ταχύτητα της ανηφοροκατηφόρας είναι ο αρμονικός μέσος των δύο ταχυτήτων. Τυχαίνει δε (στα συγκεκριμένα νούμερα) η ταχύτητα αυτή να είναι ίδια με την ταχύτητα που δίνει το πρόβλημα για το οριζόντιο κομμάτι.

Επισυνάπτω ατόφια την άσκηση από τον Διαγωνισμό Καγκουρό 2007. Τα νούμερα είναι τα ίδια με της παραπάνω με μόνη διαφορά ότι η πορεία ήταν ώρες αντί .

Ένας περιηγητής περπάτησε για 2 ώρες μια διαδρομή που είχε την εξής μορφή: πρώτα ένα επίπεδο τμήμα, μετά ένα ανηφορικό και τέλος επιστροφή (πρώτα κατηφορίζοντας και μετά το επίπεδο τμήμα). Η ταχύτητά του ήταν 4 χλμ. ανά ώρα στο επίπεδο τμήμα, 3 χλμ. ανά ώρα στο ανηφορικό και 6 χλμ. ανά ώρα στο κατηφορικό. Πόσο είναι το μήκος της διαδρομής;

A) Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε B) 6 χλμ. Γ) 7,5 χλμ. Δ) 8 χλμ. E) 10 χλμ.

Η δε λύση που είχα γράψει τότε, στο αντίστοιχο βιβλίο με τα θέματα και λύσεις, ήταν (αντιγράφω)

Επειδή το ανηφορικό κομμάτι της διαδρομής είναι όσο και το κατηφορικό, εύκολα βλέπουμε ότι ο μέσος όρος ταχύτητας στο ανηφορικό και το κατηφορικό κομμάτι μαζί είναι 4 χλμ. την ώρα (το αφήνουμε ως απλή άσκηση), όσο δηλαδή στο ίσιο. Έτσι ο περιηγητής περπάτησε με μέσο όρο 4 χλμ. την ώρα. Άρα το μήκος της διαδρομής είναι 4x2 = 8 χλμ.

[sorvats_89]

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και τις πληροφορίες, το έβαλαν σαν εργασία για το σπίτι σε μαθητές δημοτικού και μου ζήτησαν βοήθεια. Μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με εξίσωσεις ?

[Henri van Aubel]

Καλό μεσημέρι (και καλή όρεξη σε μερικούς που τρώνε τώρα ) Με εξίσωση έχουμε και λέμε:
Η κατηφόρα που ισούται με την ανηφόρα, ας είναι Η διαδρομή στο επίπεδο ας είναι
Έχουμε την εξίσωση (συνάδελφος είσαι, προφανώς καταλαβαινόμαστε )

.

[Mihalis_Lambrou]

το έβαλαν σαν εργασία για το σπίτι σε μαθητές δημοτικού και μου ζήτησαν βοήθεια.

Δύσκολο για Δημοτικό. Μόνο για ιδιαίτερα ταλαντούχους.

[Henri van Aubel]

Καλό απόγευμα!! Πράγματι αυτό το πρόβλημα είναι πολύ δύσκολο για δημοτικό και τολμώ να πω ότι είναι δύσκολο ακόμα και για γυμνάσιο. Στο δημοτικό δεν ξέρουν καλά καλά μία διαίρεση και θα λύσουν ολόκληρη σπαζοκεφαλιά;

[sorvats_89]

Καλό μεσημέρι (και καλή όρεξη σε μερικούς που τρώνε τώρα ) Με εξίσωση έχουμε και λέμε:
Η κατηφόρα που ισούται με την ανηφόρα, ας είναι Η διαδρομή στο επίπεδο ας είναι
Έχουμε την εξίσωση (συνάδελφος είσαι, προφανώς καταλαβαινόμαστε )

.

Πολύ ωραία, επιτέλους ξεκόλλησα!!! Επαληθεύεται για άπειρα ζεύγη που στην ουσία μας αποδεικνύει ότι δεν παίζει ρόλο πόσα χιλιόμετρα από κάθε τμήμα της διαδρομής διανύσαμε. Θα τους το βάλω στην άλγεβρα β Λυκείου για τις άπειρες λύσεις γραμμικής ώστε να με βρίζουν οι μαθητές.
Σας υπερευχαριστώ για τις απαντήσεις πραγματικά με βοηθήσατε...

[Henri van Aubel]

Χαρά μου να βοηθάω συνάδελφε Μην τους το βάλεις στην β λυκείου, γιατί μπορεί ''να τις φας'' .