Γινόμενο

mick7 · #1

Εάν

πραγματικοί αριθμοί με $x\neq y$ και ισχύει ότι

$\displaystyle x(y^{2}+1)=y(x^{2}+1)$

να βρεθεί το γινόμενο $\displaystyle xy$

Διορία 24 ώρες

Joaakim · #2

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 28, 2021 8:01 pm
Εάν πραγματικοί αριθμοί με $x\neq y$ και ισχύει ότι

$\displaystyle x(y^{2}+1)=y(x^{2}+1)$

να βρεθεί το γινόμενο $\displaystyle xy$

Διορία 24 ώρες

Έχουμε $x(y^{2}+1)=y(x^{2}+1) \Rightarrow (xy^{2}-x^{2} y)+(x-y)=0 \Rightarrow xy(y-x)-(y-x)=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow(xy-1)(y-x)=0 \Rightarrow (xy-1)(x-y)=0 \Rightarrow xy-1=0 \Rightarrow xy=1$ (αφού $x \neq y \Rightarrow x-y \neq 0$ .)

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 28, 2021 8:01 pm
Εάν πραγματικοί αριθμοί με $x\neq y$ και ισχύει ότι

$\displaystyle x(y^{2}+1)=y(x^{2}+1)$

να βρεθεί το γινόμενο $\displaystyle xy$

Αλλιώς (με Vieta). Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει προφανή ρίζα την y=x

. Επειδή γράφεται $yx^2- (y^{2}+1)x +y=0$ , παρατηρούμε ότι το γινόμενο των ριζών είναι $\dfrac {y}{y} =1$ . Άρα η άλλη ρίζα (πέρα από την x=y

) είναι η $x=\dfrac {1}{y}$ , οπότε xy=1

.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης.

kfd · #4

Aν

τότε και

άτοπο. Με ιδιότητες αναλογιών έχουμε $\frac{x}{y}=\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\Leftrightarrow \frac{x-y}{y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}+1}=\frac{\left ( x-y \right )(x+y)}{y^{2}+1} \Leftrightarrow \frac{y^{2}+1}{y}=x+y\Leftrightarrow y+\frac{1}{y}=x+y\Leftrightarrow x=\frac{1}{y}\Leftrightarrow xy=1$ .

Al.Koutsouridis · #5

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 28, 2021 8:01 pm
Εάν πραγματικοί αριθμοί με $x\neq y$ και ισχύει ότι

$\displaystyle x(y^{2}+1)=y(x^{2}+1)$

να βρεθεί το γινόμενο $\displaystyle xy$

Η δοθείσα σχέση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{y}{y^2+1}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(t)=\dfrac{t}{t^2+1}$ . Παρατηρούμε ότι $f(t)=f\left( \dfrac{1}{t} \right)$ για $t \neq 0$ .

Από την άλλη η εξίσωση $\dfrac{x}{x^2+1} = a$ , με $a \in \left (-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right ) , a \neq 0$ έχει δυο διαφορετικές ρίζες.

Οπότε αν για κάποιο

ισχύει

τότε, εφόσον $x \neq y$ θα είναι $y=\dfrac{1}{x}$ και θα έχουμε xy=1

.

Όταν η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση ( $a=0, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}$ ) εύκολα βλέπουμε ότι ανάγεται στην περίπτωση x=y

και απορρίπτεται.

Γινόμενο

Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση