Εξίσωση

mick7 · #1

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

$\displaystyle (5t-7)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0$

Διορία 48 ώρες

#2

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 30, 2021 9:13 pm
Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

$\displaystyle (5t-7)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0$

Διορία 48 ώρες

$\displaystyle (7 - 5t)\sqrt t = (5t + 2)\sqrt {1 - t} ,0 < t < 1$

Πρώτα ελέγχω αν είναι ταυτόχρονα 7-5t=5t+2

και

Πράγματι από εδώ παίρνω τη ρίζα $\boxed{t=\frac{1}{2}}$

Στη συνέχεια υψώνω στο τετράγωνο:

$\displaystyle t(25{t^2} - 70t + 49) = (1 - t)(25{t^2} + 20t + 4) \Leftrightarrow 50{t^3} - 75{t^3} + 33t - 4 = 0$

Τώρα με $\displaystyle {\rm{Horner}}$ και αφού ήδη γνωρίζω μία ρίζα, καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle 25{t^2} - 25t + 4 = 0,$

απ' όπου $\boxed{t=\frac{1}{5}}$ ή $\boxed{t=\frac{4}{5}}$

Manolis Petrakis · #3

Αλλιώς
Κατ' αρχάς πρέπει $t\in [0,1]$
$(5t-7)\sqrt t +(5t+2)\sqrt{1-t}=0$
$\Leftrightarrow -5(1-t)\sqrt t -2\sqrt t +5t\sqrt {1-t} +2 \sqrt {1-t}=0$
$\Leftrightarrow -5\sqrt t \sqrt {1-t} (\sqrt {1-t}-\sqrt t) +2(\sqrt {1-t} - \sqrt t)=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt {1-t} - \sqrt t)(2-5\sqrt t \sqrt {1-t})=0$
Άρα $\sqrt t=\sqrt {1-t}\Leftrightarrow t=1-t\Leftrightarrow \boxed{t=\dfrac{1}{2}}$
Ή $2=5\sqrt t \sqrt {1-t}\Leftrightarrow 4=25t(1-t) \Leftrightarrow 25t^2-25t+4=0 \Leftrightarrow \boxed{t=\dfrac{1}{5}}\ \acute{\eta} \ \boxed{t=\dfrac{4}{5}}$

mick7 · #4

Μια λύση σε αυτό

H αρχική γράφεται σαν

$\displaystyle (-5(1-t)-2)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0$

Τελικά καταλήγουμε στην

$\displaystyle 5\sqrt{t}\sqrt{1-t}(\sqrt{t}-\sqrt{1-t})=2(\sqrt{t}-\sqrt{1-t})$

Από οπού

$\dipslaystyle (\sqrt{t})(\sqrt{1-t})=0$

και

$\displaystyle (5\sqrt{t}\sqrt{1-t}-2)=0$

Οι λύσεις τελικά είναι $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{4}{5}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση