Εξίσωση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Μαρ 30, 2021 9:13 pm

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

\displaystyle (5t-7)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0

Διορία 48 ώρες



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 03, 2021 4:54 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Μαρ 30, 2021 9:13 pm
Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

\displaystyle (5t-7)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0

Διορία 48 ώρες
\displaystyle (7 - 5t)\sqrt t  = (5t + 2)\sqrt {1 - t} ,0 < t < 1

Πρώτα ελέγχω αν είναι ταυτόχρονα 7-5t=5t+2 και t=1-t. Πράγματι από εδώ παίρνω τη ρίζα \boxed{t=\frac{1}{2}}

Στη συνέχεια υψώνω στο τετράγωνο:

\displaystyle t(25{t^2} - 70t + 49) = (1 - t)(25{t^2} + 20t + 4) \Leftrightarrow 50{t^3} - 75{t^3} + 33t - 4 = 0

Τώρα με \displaystyle {\rm{Horner}} και αφού ήδη γνωρίζω μία ρίζα, καταλήγω στην εξίσωση \displaystyle 25{t^2} - 25t + 4 = 0,

απ' όπου \boxed{t=\frac{1}{5}} ή \boxed{t=\frac{4}{5}}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Απρ 03, 2021 5:14 pm

Αλλιώς
Κατ' αρχάς πρέπει t\in [0,1]
(5t-7)\sqrt t +(5t+2)\sqrt{1-t}=0
\Leftrightarrow -5(1-t)\sqrt t -2\sqrt t +5t\sqrt {1-t} +2 \sqrt {1-t}=0
\Leftrightarrow -5\sqrt t \sqrt {1-t} (\sqrt {1-t}-\sqrt t) 
+2(\sqrt {1-t} - \sqrt t)=0
\Leftrightarrow (\sqrt {1-t} - \sqrt t)(2-5\sqrt t \sqrt {1-t})=0
Άρα \sqrt t=\sqrt {1-t}\Leftrightarrow t=1-t\Leftrightarrow \boxed{t=\dfrac{1}{2}}
Ή 2=5\sqrt t \sqrt {1-t}\Leftrightarrow 4=25t(1-t) \Leftrightarrow 25t^2-25t+4=0 \Leftrightarrow \boxed{t=\dfrac{1}{5}}\ \acute{\eta} \ \boxed{t=\dfrac{4}{5}}


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Απρ 03, 2021 5:16 pm

Μια λύση σε αυτό

H αρχική γράφεται σαν

\displaystyle (-5(1-t)-2)\sqrt{t}+(5t+2)\sqrt{1-t}=0

Τελικά καταλήγουμε στην

\displaystyle 5\sqrt{t}\sqrt{1-t}(\sqrt{t}-\sqrt{1-t})=2(\sqrt{t}-\sqrt{1-t})

Από οπού

\dipslaystyle (\sqrt{t})(\sqrt{1-t})=0

και

\displaystyle (5\sqrt{t}\sqrt{1-t}-2)=0

Οι λύσεις τελικά είναι \displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{4}{5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης