Σύστημα

mick7 · #1

Να λυθεί το παρακάτω σύστημα στους πραγματικούς.

$\displaystyle \begin{cases}4x+3y=496 & \\\sqrt{5x}+\sqrt{5y}=\sqrt{17x+7y} &\end{cases}$

Διορία 72 ώρες

Joaakim · #2

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται ισοδύναμα
$\sqrt{5x}+ \sqrt{5y}= \sqrt{17x+7y} \Rightarrow (\sqrt{5x}+ \sqrt{5y})^2 =( \sqrt{17x+7y})^2 \Rightarrow 5x+5y+ 2 \sqrt {25xy}=17x+7y \Rightarrow$
$\Rightarrow 12x+2y= 2 \sqrt {25xy} \Rightarrow 144x^2+48xy+4y^2=100xy \Rightarrow 144x^2-52xy+4y^2=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow 36x^2-13xy+y^2=0$ ,
η οποία έχει $D=(-13y)^2-4*36*y^2=169y^2-144y^2=25y^2=(5y)^2 \ge 0$ , και επειδή η λύση y=0

δεν επαληθεύει το σύστημα, πρέπει
$x_{1,2}= \dfrac{-(-13y)+- \sqr (5y)^2}{2*36}= \dfrac {13y+-5}{72} \Rightarrow x_{1}= \dfrac {13y+5y}{72}= \dfrac {18y}{72}= \dfrac {y}{4}$ ,
$x_{2}= \dfrac {13y-5y}{72}= \dfrac {8y}{72}= \dfrac {y}{9}$ . Αντικαθιστώντας τώρα στην πρώτη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε
$\dfrac {4y}{4}+3y=496, or, \dfrac {4y}{9}+3y=496 \Rightarrow 4y=496,or, y=496*9/31 \Rightarrow$
$\Rightarrow y=124, or, y=16*9=144$ .
Για y=124

έχουμε $x=\dfrac{124}{4}=31$ , και για y=144

έχουμε $x= \dfrac {144}{9}=16$ .
Τελικά (x,y)=(31,124),(16,144)

.

mick7 · #3

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση