Συνθήκη

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Φεβ 19, 2021 5:27 pm

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση παρακάτω να έχει λύση ως προς χ (πραγματικός). Tα a και b είναι θετικοί πραγματικοί Να γραφτεί η λύση δεδομένου ότι η συνθήκη ικανοποιείται.

\displaystye \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=b

(Με επαρκή αιτιολόγηση)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Φεβ 23, 2021 2:59 pm

Ανοιχτή σε όλους


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13145
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 23, 2021 3:24 pm

mick7 έγραψε:
Παρ Φεβ 19, 2021 5:27 pm
Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση παρακάτω να έχει λύση ως προς χ (πραγματικός). Tα a και b είναι θετικοί πραγματικοί Να γραφτεί η λύση δεδομένου ότι η συνθήκη ικανοποιείται.

\displaystye \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=b

(Με επαρκή αιτιολόγηση)
Πεδίο ορισμού x\ge 0. Πολλαπλασιάζοντας επί τον συζυγή είναι ισοδύναμα \displaystyle{\dfrac {a}{\sqrt {x+a}+\sqrt x} = b \,(*)}. Αλλά η \displaystyle{\sqrt {x+a}+\sqrt x} είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο) και συνεχής, άρα έχει σύνολο τιμών [\sqrt a ,\infty), οπότε η \displaystyle{\displaystyle{ \dfrac {a}{\sqrt {x+a}+\sqrt x} } έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{ \left ( 0, \sqrt a \right ]}. Συνεπώς ικανή και αναγκαία συνθήκη να έχει λύση η εξίσωση (και μάλιστα είναι τότε μοναδική) είναι \displaystyle{b \le  \sqrt a }, ισοδύναμα b^2\le a.

Τώρα, η (*) γράφεται \displaystyle{ \sqrt {x+a}+\sqrt x = \dfrac {a}{b}. Αφαιρώντας την αρχική είναι 2\sqrt x =   \dfrac {a}{b}-b, από όπου \displaystyle{x= \dfrac {(a-b^2)^2}{4b^2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες