πλευρές γωνίες

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 963
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

πλευρές γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Ιαν 09, 2021 11:05 pm

triangle.png
triangle.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Ενδεχομένως να πρόκειται για γνωστή άσκηση. Εγώ τη συνάντησα σε κάποιο ιαπωνικό φόρουμ (το έχω σαν αρχή να αναφέρω πάντα την άμεση πηγή μου). Θεωρώ ότι είναι πολύ καλή για μαθητές της Β Λυκείου.

Συμπληρώνω, λίγη ώρα μετά ότι πρόκειται για θέμα από Ολυμπιάδα στη Ρουμανία. Δεν το γνώριζα. Ευχαριστώ για την πληροφορία τον χρήστη Doloros.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: πλευρές γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 10, 2021 12:40 am

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων (δυο φορές) θα βρούμε (αφήνω την επίπονη πληκτρολόγιση)

\cos 2\theta= \dfrac {n-3}{2n} και \cos \theta= \dfrac {n+5}{2(n+2)}. Όμως \cos 2\theta = 2 \cos ^2 \theta -1. Άρα

\displaystyle{  \dfrac {n-3}{2n} = 2 \left ( \dfrac {n+5}{2(n+2)} \right ) ^2-1} που μετά τις πράξεις γράφεται

\displaystyle{ \dfrac {2n^3-n^2-25n-12}{2n(n+2)^2}=0}. Ο αριθμητής γράφεται \displaystyle{(n-4)(2n+1)(n+3) =0}, οπότε n=4 (δεκτή).


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1238
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: πλευρές γωνίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιαν 10, 2021 12:31 pm

19.png
19.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές

Επί της προεκτάσεως της AB θεωρώ σημείο P τέτοιο, ώστε BP=n+1.
Φέρνω το τμήμα PC το οποίο ονομάζω a. Προφανώς \angle CPB=\angle BCP=\theta .

Από την ομοιότητα των τριγώνων APC, ABC έχω \dfrac{PC}{BC}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow

\Rightarrow a=\dfrac{(n+1)\cdot (n+2)}{n} (1).

Αλλά BC^{2}=AC\cdot PC-AB\cdot PB\Rightarrow (n+1)^{2}=a\cdot (n+2)-n\cdot (n+1) (2).

Από την (1) και (2) παίρνω εύκολα n=4.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: πλευρές γωνίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 10, 2021 12:37 pm

Από γνωστό θεώρημα : (n+2)^2=n^2+n(n+1) , με δεκτή λύση n=4 .


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: πλευρές γωνίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Ιαν 10, 2021 1:32 pm

Από νόμο συνημιτόνων: n^2=(n+1)^2+(n+2)^2-2(n+1)(n+2)\cos\theta
\Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{n^2+6n+5}{2(n^2+3n+2)} \ (1)
Από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο: \dfrac{n}{\sin\theta}=\dfrac{n+2}{\sin 2\theta}\Leftrightarrow \dfrac{\sin 2\theta}{\sin \theta}=\dfrac{n+2}{n}\Leftrightarrow 2\cos\theta=\dfrac{n+2}{n}\Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{n+2}{2n} \ (2)
Από τις (1),(2) παίρνουμε:
\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^2+6n+5}{n^2+3n+2}\Leftrightarrow n^3+5n^2+8n+4=n^3+6n^2+5n
\Leftrightarrow n^2-3n-4=0\Leftrightarrow (n-4)(n+1)=0\Leftrightarrow n=4


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: πλευρές γωνίες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 10, 2021 2:11 pm

Το περίφημο "θεώρημα" , βρίσκεται - με πολλές αποδείξεις του - εδώ .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης