Μοναδική λύση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Μοναδική λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Δεκ 26, 2020 12:38 am

Για κάποια a,b\in \mathbb{R} με a\neq 1 δίνεται μία συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιεί την σχέση f(f(x))=ax+b για κάθε πραγματικό x. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Σητεία Κρήτης

Re: Μοναδική λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Σάβ Δεκ 26, 2020 12:59 am

Έστω  x_1 \not= x_2 έτσι ώστε f(x_1) = x_1 και f(x_2) = x_2. Από τη σχέση: f(f(x)) = ax + b έχουμε: f(f(x_1)) = f(x_1) = x_1 = ax_1 + b \Leftrightarrow x_1(a - 1) = -b και αντίστοιχα: x_2 = ax_2 + b \Leftrightarrow -x_2(a - 1) = b Αφού a  \not= 1, προθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις που έχουμε και παίρνουμε:  (x_1 - x_2)(a - 1) = 0 \Leftrightarrow  x_1 = x_2. Άτοπο. Άρα η εξίσωση: f(x) = x έχει μοναδική λύση.
τελευταία επεξεργασία από llenny σε Σάβ Δεκ 26, 2020 1:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μοναδική λύση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:14 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:38 am
Για κάποια a,b\in \mathbb{R} με a\neq 1 δίνεται μία συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιεί την σχέση f(f(x))=ax+b για κάθε πραγματικό x. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση.
Μπορούμε να το βελτιώσουμε, χωρίς δυσκολία.

Την μοναδική αυτή λύση μπορούμε να την βρούμε. Είναι η x= \dfrac {b}{1-a}. To αφήνω ως ωραία ασκησούλα.


Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Σητεία Κρήτης

Re: Μοναδική λύση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:25 am

Αφού ξέρουμε ότι η λύση είναι μοναδική, θα δείξουμε ότι είναι αυτής της μορφής. Έχουμε: f(f(\frac{b}{1 - a})) = f(\frac{b}{1 - a}) = \frac{b}{1 - a}.
Αρκεί λοιπόν:  \frac{b}{1 - a} = \frac{ab}{1 - a} +  \frac{b - ab}{1 - a}  \Leftrightarrow \frac{b}{1 - a} =  \frac{b}{1 - a}  \Leftrightarrow 0 = 0 που προφανώς ισχύει, άρα οι λύσεις είναι αποκλειστικά της μορφής αυτής για κάθε a ,b με a διάφορο του 1. Λάθος.
τελευταία επεξεργασία από llenny σε Κυρ Δεκ 27, 2020 1:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μοναδική λύση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:33 am

llenny έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:25 am
Αφού ξέρουμε ότι η λύση είναι μοναδική, θα δείξουμε ότι είναι αυτής της μορφής. Έχουμε: f(f(\frac{b}{1 - a})) = f(\frac{b}{1 - a}) = \frac{b}{1 - a}.
Αρκεί λοιπόν:  \frac{b}{1 - a} = \frac{ab}{1 - a} +  \frac{b - ab}{1 - a}  \Leftrightarrow \frac{b}{1 - a} =  \frac{b}{1 - a}  \Leftrightarrow 0 = 0 που προφανώς ισχύει, άρα οι λύσεις είναι αποκλειστικά της μορφής αυτής για κάθε a ,b με a διάφορο του 1.
Νομίζω ότι δεν απαντάς σωστά εκτός αν δεν βλέπω κάτι (είμαι έτοιμος για ύπνο μετά από κουραστική μέρα). Συγκεκριμένα,
ξέρουμε ότι αν υπάρχει λύση, τότε είναι μοναδική. Όμως το ερώτημα είναι αν πράγματι υπάρχει. Αυτό δεν το ξέρουμε, αλλά είναι το ζητούμενο του ερωτήματός μου.


Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Σητεία Κρήτης

Re: Μοναδική λύση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:49 am

Αν δε χάνω κι εγώ κάτι νομίζω πως έχετε δίκιο. Έχουμε λοιπόν: f(x) = x \Leftrightarrow f(x) = ax + b \Leftrightarrow x = ax + b \Leftrightarrow  
(a - 1)x + b = 0 Θέτουμε g(x) = (a - 1)x +b. Αν a > 1 είναι lim_{x\to\infty}g(x) = \infty και lim_{x\to-\infty}g(x)  = -\infty. Αν a<1 είναι
 lim_{x\to\infty}g(x) = -\infty και lim_{x\to-\infty}g(x) =  \infty. Και στις δύο περιπτώσεις απο Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία λύση. Επίσης επειδή η g(x) είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα, έχουμε άλλη μία απόδειξη για τη μοναδικότητα της λύσης. Ξέρουμε και τη μορφή της οπότε υποθέτω πως δε μένει κάτι άλλο αν δε χάνω κάτι :D . Έχει λάθη.
τελευταία επεξεργασία από llenny σε Κυρ Δεκ 27, 2020 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μοναδική λύση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 26, 2020 8:23 am

llenny έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:49 am
Αν δε χάνω κι εγώ κάτι νομίζω πως έχετε δίκιο. Έχουμε λοιπόν: f(x) = x \Leftrightarrow f(x) = ax + b \Leftrightarrow x = ax + b \Leftrightarrow  
(a - 1)x + b = 0 Θέτουμε g(x) = (a - 1)x +b. Αν a > 1 είναι lim_{x\to\infty}g(x) = \infty και lim_{x\to-\infty}g(x)  = -\infty. Αν a<1 είναι
 lim_{x\to\infty}g(x) = -\infty και lim_{x\to-\infty}g(x) =  \infty. Και στις δύο περιπτώσεις απο Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία λύση. Επίσης επειδή η g(x) είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα, έχουμε άλλη μία απόδειξη για τη μοναδικότητα της λύσης. Ξέρουμε και τη μορφή της οπότε υποθέτω πως δε μένει κάτι άλλο αν δε χάνω κάτι :D .
llenny, Καλημέρα.

Νομίζω ότι έχει διάφορα προβλήματα η λύση. Ίσως χάνω κάτι γιατί μόλις ξύπνησα (ή μάλλον, ακόμη δεν... καλοξύπνησα).

Πρώτον, ξεκινάς με υπόθεση ότι η x είναι λύση. Αυτό φαίνεται στο επόμενο βήμα όπου πήρες (χωρίς να σημειώνεται αλλά το βλέπουμε) ότι θα έχουμε τότε f(f(x))=f(x) , άρα ax+b=f(x) και άρα ax+b=x. Άρα η απόδειξη της ύπαρξης μένει αναπάντητη.

Δεύτερον, παίρνεις όριο x\to \pm \infty. Μα το x ως στεθερό (δηλαδή η λύση) δεν κουνιέται. Είναι δεδομένο. Είναι σαν να λες "παίρνω το όριο 2021 \to \pm \infty.

Κάνεις μία ολόκληρη μανούβρα μέσω Bolzano για να δείξεις ότι η (a-1)x+b μηδενίζεται κάπου. Μα αυτή είναι πρωτοβάθμια με a\ne 1, οπότε φυσικά μηδενίζεται κάπου. Δεν χρειάζεται Bolzano! Είναι σαν να λες ότι η εξίσωση 10x-20=0 έχει ρίζα λόγω Bolzano. Σωστό, αλλά δεν χρειάζεται Bolzano γι' αυτήν την εξίσωση. Μπορούμε τα την λύσουμε απευθείας με γνώσεις πολύύύ πριν μάθουμε Bolzano.

Για να καταλήξω: Το θέμα είναι ακόμη ανοικτό. Ευπρόσδεκτοι όλοι οι λύτες.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4662
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μοναδική λύση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 26, 2020 12:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:14 am
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:38 am
Για κάποια a,b\in \mathbb{R} με a\neq 1 δίνεται μία συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle{f(f(x))=ax+b \quad  \text{\gr για κάθε πραγματικό} \;\; x \quad \quad (1)}

Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση.
Μπορούμε να το βελτιώσουμε, χωρίς δυσκολία.

Την μοναδική αυτή λύση μπορούμε να την βρούμε. Είναι η x= \dfrac {b}{1-a}. To αφήνω ως ωραία ασκησούλα.

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω x_0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για x=x_0 η (1) δίδει

\displaystyle{\begin{aligned}  
f \left ( f(x_0) \right ) = a x_0 + b &\Rightarrow f \left ( x_0 \right ) = ax_0 + b \\ 
 &\Rightarrow x_0  = a x_0 + b \\ 
 &\Rightarrow x_0 - a x_0 = b \\ 
 &\Rightarrow x_0 \left ( 1 - a \right ) = b \\ 
 &\overset{a \neq 1}{\Rightarrow} x_0 = \frac{b}{1-a} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μοναδική λύση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 27, 2020 10:39 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:05 pm

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω x_0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για x=x_0 η (1) δίδει
Όχι βέβαια. Εδώ επαναλαμβάνεις το λογικό σφάλμα που ανέφερα, ότι δηλαδή αν ξέρουμε ότι έχει ρίζα, τότε είναι μοναδική. Το ερώτημα είναι να την βρούμε.

Μου κάνει εντύπωση που κολλάμε, αφού έχω ήδη γράψει ποια είναι η ρίζα. Δεν έχουμε παρά μόνο να την επαληθεύσουμε. Η επαλήθευση κινείται 99% στο ίδιο μήκος κύματος με τα ήδη γραμμένα, αλλά θέλει ένα ακόμη βηματάκι.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1557
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μοναδική λύση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Δεκ 28, 2020 12:56 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 27, 2020 10:39 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:05 pm

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω x_0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για x=x_0 η (1) δίδει
Όχι βέβαια. Εδώ επαναλαμβάνεις το λογικό σφάλμα που ανέφερα, ότι δηλαδή αν ξέρουμε ότι έχει ρίζα, τότε είναι μοναδική. Το ερώτημα είναι να την βρούμε.

Μου κάνει εντύπωση που κολλάμε, αφού έχω ήδη γράψει ποια είναι η ρίζα. Δεν έχουμε παρά μόνο να την επαληθεύσουμε. Η επαλήθευση κινείται 99% στο ίδιο μήκος κύματος με τα ήδη γραμμένα, αλλά θέλει ένα ακόμη βηματάκι.
...Χρόνια Πολλά :logo: ας κάνουμε ένα βηματάκι... ελπίζω να είναι αυτό που λέει ο Μιχάλης...

Είναι f(f(x))=ax+b άρα και f(f(f(x)))=af(x)+b,\,\,x\in R (1)

Τώρα για x τον αριθμό \kappa =\frac{b}{1-a} έχουμε ότι ισχύει f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}

δηλαδή για τον αριθμό \kappa =\frac{b}{1-a} ισχύει f(f(\kappa ))=\kappa οπότε στην (1) θα ισχύει ότι

f(f(f(\kappa )))=af(\kappa )+b\Rightarrow f(\kappa )=af(\kappa )+b\Leftrightarrow f(k)=\frac{b}{1-a}=\kappa

που σημαίνει ότι ο αριθμός \kappa =\frac{b}{1-a} είναι ρίζα της f(x)=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μοναδική λύση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 28, 2020 1:18 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Δευ Δεκ 28, 2020 12:56 am

...Χρόνια Πολλά :logo: ας κάνουμε ένα βηματάκι... ελπίζω να είναι αυτό που λέει ο Μιχάλης...

Είναι f(f(x))=ax+b άρα και f(f(f(x)))=af(x)+b,\,\,x\in R (1)

Τώρα για x τον αριθμό \kappa =\frac{b}{1-a} έχουμε ότι ισχύει f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}

δηλαδή για τον αριθμό \kappa =\frac{b}{1-a} ισχύει f(f(\kappa ))=\kappa οπότε στην (1) θα ισχύει ότι

f(f(f(\kappa )))=af(\kappa )+b\Rightarrow f(\kappa )=af(\kappa )+b\Leftrightarrow f(k)=\frac{b}{1-a}=\kappa

που σημαίνει ότι ο αριθμός \kappa =\frac{b}{1-a} είναι ρίζα της f(x)=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Ακριβώς. :clap:

Για όφελος των μαθητών ας συνοψίσουμε: Από την ιδιότητα της fof βλέπουμε f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}. Την κτυπάμε με f, οπότε f(f(f(\frac{b}{1-a})))=f(\frac{b}{1-a}) . Άρα, ξανά από την ιδιότητα της fof, έχουμε

 af(\frac{b}{1-a}) +b = f(\frac{b}{1-a}) από όπου λύνοντας ως προς την  f(\frac{b}{1-a}) λαμβάνουμε  f(\frac{b}{1-a})= \frac{b}{1-a}. Δηλαδή βρήκαμε μία ρίζα της f(x)=x, την \frac{b}{1-a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης