Από Louis Brand

#1

Ι)
Μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση

είναι τέτοια ώστε : f(a) = f(b) = 0

.

Επί πλέον f(c) > 0

όπου

.

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια τιμή $\xi$ μεταξύ των $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ για την οποία

$f''\left( \xi \right) < 0$ .

ΙΙ)

Οι συναρτήσεις $f\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g$ είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα $\left[ {a,b} \right]$ και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα $\left( {a,b} \right)$ .

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα , $\xi \in \left( {a,b} \right)$ τέτοιο ώστε:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f(a)}&{f(b)} \\ {g(a)}&{g(b)} \end{array}} \right| = \left( {b - a} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f(a)}&{f'(\xi )} \\ {g(a)}&{g'(\xi )} \end{array}} \right|$

Μαθηματικά κατεύθυνσης μέχρι τα Χριστούγεννα.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 17, 2020 1:25 am
Ι)
Μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι τέτοια ώστε : .

Επί πλέον όπου .

Δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια τιμή $\xi$ μεταξύ των $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ για την οποία

$f''\left( \xi \right) < 0$ .

Ι..........................

Νίκο, τι σου θυμίζει αυτή η άσκηση ;
Μεγάλη περιπέτεια για την ΕΜΕ και την ΚΕΓΕ !
Καλά Χριστούγεννα !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Aν θυμάμαι καλά, αποτελούσε τμήμα θέματος από τα θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης του 2003 ...
Δεν θα ξεχάσω τι έγινε με το τελευταίο ζητούμενο του θέματος αυτού...
Το ζητούμενο εδώ είναι διαφορετικό.
Αρκετά γράφηκαν για την ιστορία, ας αφήσουμε τα παιδιά να προσπαθήσουν...

#4

Καλημέρα στους αγαπητούς : Μπάμπη και ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗ . Καλά Χριστούγεννα να έχουμε.

Μια και μου ξυπνήσατε πιο πολύ το παρελθόν, από το ίδιο βιβλίο ( σελίδα 175 άσκηση 11 της μεταφρασμένης έκδοσης της Ε.Μ.Ε ) ήταν θέμα στις

εξετάσεις του 1983, έκανα επιτήρηση στην Σητεία ! . Το Βιβλίο που έχω είναι έκδοση 1984, αλλά υπήρχε από το "μακρινό" 1955, ίσως και πιο παλιά.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Ας γραφεί μια λύση, να μην μένει αναπάντητη...

i) Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την

στο $\left [ a,c \right ]$
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{1}\epsilon \left ( a,c \right )$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle f'\left ( x_{1} \right )=\frac{f(c)-f\left ( a \right )}{c-a}=\frac{f\left ( c \right )-0}{c-a}=\frac{f\left ( c \right )}{c-a}>0$

Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την

στο $\left [ c,b\right ]$
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{2}\epsilon \left ( c,b \right )$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle f'\left ( x_{2} \right )=\frac{f(b)-f\left ( c \right )}{b-c}=\frac{0-f\left ( c \right )}{b-c}=-\frac{f\left ( c \right )}{b-c}<0$

Ασφαλώς ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την

στο $\left [x_{1} , x_{2}\right ]$
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\epsilon \left (x_{1} ,x_{2} \right )$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle f''\left (\xi \right )=\frac{f'(x_{2})-f'\left ( x_{1} \right )}{x_{2}-x_{1}}$ που είναι σίγουρα μια αρνητική ποσότητα αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός και ο παρoνομαστής θετικός.

ii) Το σκέλος αυτό ουδεμία σχέση έχει με το i)...

Έστω συνάρτηση

με

με $x\epsilon \left [a,b]$
Για την

ισχύουν οι δύο συνθήκες για την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο $\left [a,b]$
Έτσι λοιπόν υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\epsilon \left (a ,b \right )$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle h'(\xi )=\frac{h\left ( b \right )-h\left ( a \right )}{b-a}\Leftrightarrow$

$\left [ f\left ( a \right )g'\left ( \xi \right )-g\left ( a \right )f'\left ( \xi \right ) \right ]\left ( b-a \right )=f\left ( a \right )g\left ( b \right )-g\left ( a \right )f\left ( b \right )-f\left ( a \right )g\left ( a \right )+g\left ( a \right )f\left ( a \right )$

κάτι που ισοδυναμεί με την ισότητα που ζητείται.

Από Louis Brand

Από Louis Brand

Re: Από Louis Brand

Re: Από Louis Brand

Re: Από Louis Brand

Re: Από Louis Brand

Μέλη σε σύνδεση