Σταθερή γωνία

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερή γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 08, 2020 3:05 pm

Γωνία μεσoκαθέτου και Euler.png
Γωνία μεσoκαθέτου και Euler.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Η πλευρά BC ενός σκαληνού τριγώνου ABC με AB<AC είναι σταθερή, ενώ η κορυφή του A

μεταβάλλεται έτσι ώστε B\widehat AC=60^\circ. Αν H είναι το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και M το μέσο

της πλευράς AB, να δείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του A η γωνία M\widehat OH παραμένει σταθερή.



Μέχρι τις 10/8/2020



Λέξεις Κλειδιά:
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 127
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Σταθερή γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Αύγ 12, 2020 10:47 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Αύγ 08, 2020 3:05 pm
Γωνία μεσoκαθέτου και Euler.png
Η πλευρά BC ενός σκαληνού τριγώνου ABC με AB<AC είναι σταθερή, ενώ η κορυφή του A

μεταβάλλεται έτσι ώστε B\widehat AC=60^\circ. Αν H είναι το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και M το μέσο

της πλευράς AB, να δείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του A η γωνία M\widehat OH παραμένει σταθερή.



Μέχρι τις 10/8/2020
μεσοκάθετος και Euler.png
μεσοκάθετος και Euler.png (231.95 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Έστω E σημείο τομής της OM στο AC και K σημείο τομής της CH με τοAB.

Προφανώς CK||EM και EAB ισόπλευρο τρίγωνο .

Επίσης
C\widehat{E}B=E\widehat{B}A+E\widehat{A}B=60+60=120^{\circ} (1)
C\widehat{O}B=2\cdot C\widehat{A}B=120^{\circ} (2)(Αφού O περίκεντρο)
C\widehat{H}B=180-C\widehat{A}B=120^{\circ}(3)(Αφού H ορθόκεντρο)


Απο τα (1),(2),(3) τα σημεία C,E,O,H,B ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Επειδή (όπως έγραψα αρχικά) CH||EO,ECHO ισοσκελές τραπέζιο άρα έχουμεE\widehat{C}H=O\widehat{H}C=H\widehat{O}M .

Επειδή A\widehat{C}K=180-90-60=30^{\circ} εχουμε σταθερό H\widehat{O}M=30^{\circ}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερή γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 12, 2020 2:09 pm

Filippos Athos έγραψε:
Τετ Αύγ 12, 2020 10:47 am
george visvikis έγραψε:
Σάβ Αύγ 08, 2020 3:05 pm
Γωνία μεσoκαθέτου και Euler.png
Η πλευρά BC ενός σκαληνού τριγώνου ABC με AB<AC είναι σταθερή, ενώ η κορυφή του A

μεταβάλλεται έτσι ώστε B\widehat AC=60^\circ. Αν H είναι το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και M το μέσο

της πλευράς AB, να δείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του A η γωνία M\widehat OH παραμένει σταθερή.



Μέχρι τις 10/8/2020
μεσοκάθετος και Euler.png

Έστω E σημείο τομής της OM στο AC και K σημείο τομής της CH με τοAB.

Προφανώς CK||EM και EAB ισόπλευρο τρίγωνο .

Επίσης
C\widehat{E}B=E\widehat{B}A+E\widehat{A}B=60+60=120^{\circ} (1)
C\widehat{O}B=2\cdot C\widehat{A}B=120^{\circ} (2)(Αφού O περίκεντρο)
C\widehat{H}B=180-C\widehat{A}B=120^{\circ}(3)(Αφού H ορθόκεντρο)


Απο τα (1),(2),(3) τα σημεία C,E,O,H,B ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Επειδή (όπως έγραψα αρχικά) CH||EO,ECHO ισοσκελές τραπέζιο άρα έχουμεE\widehat{C}H=O\widehat{H}C=H\widehat{O}M .

Επειδή A\widehat{C}K=180-90-60=30^{\circ} εχουμε σταθερό H\widehat{O}M=30^{\circ}
Πολύ ωραία Φίλιππε :clap2:

Επί τη ευκαιρία να υπενθυμίσω τη γνωστή πρόταση που προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη:

"Αν σε τρίγωνο ABC είναι \widehat A=60^\circ, τότε η ευθεία του \displaystyle {\rm{Euler}} σχηματίζει με τις AB, AC ισόπλευρο τρίγωνο".


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης