Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό καθώς και τις ρίζες.
Ένα 24ωρο για μαθητές.
Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό καθώς και τις ρίζες.
Ένα 24ωρο για μαθητές.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Έστω έχω και έστω ρίζες με
και παρατηρούμε ότι οι λύσεις της αρχικής είναι η
άρα έπεται οι οποίοι είναι όροι αριθμιτικής προόδου άρα έστω d η διαφορά προόδου είναι και και από vieta έχω το οποίο μετά απο πράξεις δίνει τα ζευγάρια όμωs στην αρχική πρέπει άρα δεκτά είναι μόνο τα 2 πρώτα ζευγάργια και έχω και άρα και
[*Λανθασμένα απέριψα την
]
και παρατηρούμε ότι οι λύσεις της αρχικής είναι η
άρα έπεται οι οποίοι είναι όροι αριθμιτικής προόδου άρα έστω d η διαφορά προόδου είναι και και από vieta έχω το οποίο μετά απο πράξεις δίνει τα ζευγάρια όμωs στην αρχική πρέπει άρα δεκτά είναι μόνο τα 2 πρώτα ζευγάργια και έχω και άρα και
[*Λανθασμένα απέριψα την
]
τελευταία επεξεργασία από 4ptil σε Παρ Μάιος 15, 2020 10:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Ναι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Ναι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pmΝαι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
ωραία ιδέα αλλά πως θα υλοποιηθεί σε διτετράγωνη;Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:29 pmΝαι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pmΝαι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
ρωτώ γιατί η δικιά μου απόδειξη είναι κάπως βαρετή και άκομψη.
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Καλησπέρα!! Είναι εξωσχολικό το γενικευμένο vietta! Δεν είναι η ειδική περίπτωση του σχολείου4ptil έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:45 pmωραία ιδέα αλλά πως θα υλοποιηθεί σε διτετράγωνη;Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:29 pmΝαι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pmΝαι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
ρωτώ γιατί η δικιά μου απόδειξη είναι κάπως βαρετή και άκομψη.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Μάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω οι ρίζες ,με την διαφορά της προόδου.
Είναι άρα .
Επίσης .
Επίσης .
Αν τότε οπότε
Αν ήταν τότε οπότε αντικαθιστώντας που δίνει ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες (αυτό δεν ισχύει,είχα λάθος στις πράξεις) .
Άρα .
Συμπλήρωση μετά: Για έχουμε πάλι λύσεις .
Έστω οι ρίζες ,με την διαφορά της προόδου.
Είναι άρα .
Επίσης .
Επίσης .
Αν τότε οπότε
Αν ήταν τότε οπότε αντικαθιστώντας που δίνει ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες (αυτό δεν ισχύει,είχα λάθος στις πράξεις) .
Άρα .
Συμπλήρωση μετά: Για έχουμε πάλι λύσεις .
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Μάιος 15, 2020 9:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pmΜάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω οι ρίζες ,με την διαφορά της προόδου.
Είναι άρα .
Επίσης .
Επίσης .
Αν τότε οπότε
Αν ήταν τότε οπότε αντικαθιστώντας που δίνει ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα .
-
- Δημοσιεύσεις: 785
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Πως δικαιολογείται τοΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pmΜάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω οι ρίζες ,με την διαφορά της προόδου.
Είναι άρα .
Επίσης .
Επίσης .
Αν τότε οπότε
Αν ήταν τότε οπότε αντικαθιστώντας που δίνει ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα .
Θα μπορούσε να συντομεφθεί ως εξής.ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pmεύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες
Αφου ρίζα είναι
μαζί με την παίρνουμε η
κλπ
Αν οι ρίζες είναι αριθμητική πρόοδος.
Εχω την γνώμη ότι δεν είναι σαφώς διατυπωμένη η εκφώνηση.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Δείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.
(Άλλαξα το με γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Για έχουμε ρίζες τις οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 8:01 pmΔείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.
Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png
(Άλλαξα το με γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Κύριε Σταύρο έκανα ένα λάθος στις πράξεις και μου έβγαινε .....Και για έχουμε τις λύσεις που γράφει ο κ.Λάμπρος.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 6:18 pmΠως δικαιολογείται τοΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pmΜάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω οι ρίζες ,με την διαφορά της προόδου.
Είναι άρα .
Επίσης .
Επίσης .
Αν τότε οπότε
Αν ήταν τότε οπότε αντικαθιστώντας που δίνει ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα .ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pmεύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες
Θα το επισημάνω και στην λύση μου ,για να μην μπερδευτεί κανείς.
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
αχχ, απέριψα αυτή τη λύση πιστεύοντας ότι Πάντως αστείο ότι και στη λύση του Αριστείδη Πάλλα γίνεται το ίδιο λάθωςΛάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 9:27 pmΓια έχουμε ρίζες τις οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 15, 2020 8:01 pmΔείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.
Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png
(Άλλαξα το με γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Διαβάζοντας τη λύση από το Δελτίο του Πάλλα της εποχής εκείνης, είδα ότι απέρριψε την τιμή πράγμα
που δεν είναι σωστό. Σκοπίμως έβαλα λοιπόν την άσκηση για να δω πώς θα την αντιμετωπίσουν κυρίως οι μαθητές.
Ωστόσο, αυτό που μου διέφυγε τελείως ήταν η περίπτωση των τριών ριζών που γράφει ο Σταύρος. Αν στην
εκφώνηση έγραφε "Να ορισθεί ο θετικός αριθμός ", νομίζω ότι όλα θα ήταν μια χαρά.
που δεν είναι σωστό. Σκοπίμως έβαλα λοιπόν την άσκηση για να δω πώς θα την αντιμετωπίσουν κυρίως οι μαθητές.
Ωστόσο, αυτό που μου διέφυγε τελείως ήταν η περίπτωση των τριών ριζών που γράφει ο Σταύρος. Αν στην
εκφώνηση έγραφε "Να ορισθεί ο θετικός αριθμός ", νομίζω ότι όλα θα ήταν μια χαρά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής:
Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση
έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Παρατηρούμε ότι το θέμα στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α είναι ακριβώς το ίδιο, θέτοντας απλώς όπου το
Μάλιστα, φαίνεται ότι το πρόβλημα αυτό άρεσε μέχρι κάποιες δεκαετίες αργότερα, αφού ήταν θέμα στο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ για τους Μαθηματικούς το 2005, μόνο που σε εκείνη την εξέταση η διατύπωση ήταν copy-paste από τον Pólya.
Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση
έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Παρατηρούμε ότι το θέμα στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α είναι ακριβώς το ίδιο, θέτοντας απλώς όπου το
Μάλιστα, φαίνεται ότι το πρόβλημα αυτό άρεσε μέχρι κάποιες δεκαετίες αργότερα, αφού ήταν θέμα στο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ για τους Μαθηματικούς το 2005, μόνο που σε εκείνη την εξέταση η διατύπωση ήταν copy-paste από τον Pólya.
- Συνημμένα
-
- zz.png (148.4 KiB) Προβλήθηκε 1318 φορές
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες