Εν αρχή ην ο Λόγος

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9783
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εν αρχή ην ο Λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 25, 2020 8:02 pm

Εν αρχή.png
Εν αρχή.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές
Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ABCDE. Η παράλληλη από το D στην AB τέμνει την BC στο F και οι

EF, CD τέμνονται στο K. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{(ABCK)}}{{(AEK)}} = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } }


Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εν αρχή ην ο Λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 25, 2020 9:08 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Απρ 25, 2020 8:02 pm
Εν αρχή.png
Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ABCDE. Η παράλληλη από το D στην AB τέμνει την BC στο F και οι

EF, CD τέμνονται στο K. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{(ABCK)}}{{(AEK)}} = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } }


Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.
Αρχικά αν θέσω \rm p=\sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } } τότε \rm  p^2=p+1 οπότε επειδή \rm p>0 θα είναι \rm p=\Phi.
Έστω ότι η παράλληλη από το \rm K στην \rm BC την τέμνει στο σημείο \rm Q.
Τότε \rm (ABCK)=(ABC)+(KCA)=(ABC)+(QAC)=(AQB).Είναι απλό πως \rm AD \parallel BC οπότε \rm DF=AB=a
Έτσι \rm ED=DF οπότε αφού \rm \angle EDF=108^{\circ}+36^{\circ}=144^{\circ} θα είναι \rm \angle FED=\angle EFD=18^{\circ} και αφού \rm KQ\parallel ED είναι \rm \angle FKQ=18^{\circ}.
Είναι απλό πως \rm \angle KFC=54^{\circ} οπότε \rm \angle CKF=180^{\circ}-72^{\circ}-54^{\circ}=54^{\circ}\Rightarrow CK=CF και \rm \angle CKQ=54^{\circ}+18^{\circ}=\angle QCK\Rightarrow QK=QC άρα τα \rm DCF,QKC είναι ίσα και έτσι \rm QC=DC=a.
Έτσι \rm (ABQ)=\dfrac{1}{2}a\cdot 2a\sin108^{\circ}=a^2\sin 72^{\circ}.
Επίσης από τον νόμο ημιτόνων στο \rm EDK είναι \rm \dfrac{EK}{\sin 108^{\circ}}=\dfrac{ED}{\sin 54^{\circ}}\Leftrightarrow EK=2\cos 54^{\circ}a
Επειδή \rm \angle AEK=108^{\circ}-18^{\circ}=90^{\circ} θα είναι \rm (AEK)=\dfrac{1}{2}a\cdot 2\cos54^{\circ}a=a^2\cos 54^{\circ}
Είναι λοιπόν \rm \dfrac{(ADCB)}{(AEK)}=\dfrac{a^2\sin72^{\circ}}{a^2cos54^{\circ}}=\dfrac{\sin 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}=2\cos 36^{\circ}=\Phi και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
315.PNG
315.PNG (34.53 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης