Βρείτε την υποτείνουσα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Βρείτε την υποτείνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Απρ 09, 2020 9:59 am

Καλημέρα σε όλους!
Το... το καλό!.PNG
Το... το καλό!.PNG (12.22 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έχει \widehat{A}=90^ \circ ενώ AC=2AB.

Η διχοτόμος του AD τέμνει τον κύκλο στο N. Το M είναι το μέσο της AD και η BM τέμνει τον κύκλο στο E.

Ι) Να δειχθεί ότι είναι AE=AB και ΙΙ) Αν μας δοθεί EN=7 \sqrt{2} να βρεθεί το μήκος της BC

Ας δώσουμε 48 ώρες για απαντήσεις μόνο μαθητών, ανεξάρτητα από το πλήθος των λύσεων.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Απρ 09, 2020 2:03 pm

Καλό μεσημέρι!
Έστω L το μέσο του AC και D\equiv AC\cap NE.
i) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABL έχουμε AD διχοτόμος, άρα και ύψος και διάμεσος, απο όπου προκύπτει ότι το τετράπλευρο ABNL είναι χαρταετός και η \widehat{BNL} διχοτομείται απο την AN. Άμεσα έπεται ότι AB=AE.

ii) Το τετράπλευρο AEΤM είναι εγγράψιμο, οπότε προκύπτει \widehat{ACB}=\widehat{AEB}=\widehat{ATM}\Leftrightarrow TM \parallel BC . Όμως το M είναι μέσο της AD, άρα L\equiv T.
Τώρα πράξεις...
Θέτω AB=a. Ισχύουν :
\bullet\,\,\, BC^{2}=a^{2}+4a^{2}=5a^{2}\Leftrightarrow BC=\sqrt{5}a\,\,(1)
\bullet\,\,  BN^{2}+NC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Leftrightarrow 2NL^{2}=5a^{2}\Leftrightarrow NL=\dfrac{\sqrt{10}a}{2}\,\,(2)
Απο την (2) παίρνουμε TE=7\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{10}a}{2}.
Είναι τώρα NL\cdot LE=AL\cdot LC\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{10}a}{2}\cdot(7\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{10}a}{2}) = a^{2} \Leftrightarrow 7\sqrt{5}- \dfrac{5a}{2} =a\Leftrightarrow a=2\sqrt{5}
Αντικαθιστώντας τώρα στην (1) παίρνουμε BC=10
Βρείτε την υποτείνουσα.PNG
Βρείτε την υποτείνουσα.PNG (52.59 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης