Σύγκριση εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλησπέρα.
Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά..
Το πρώτο έχει μήκη πλευρών 109,109,120

, ενώ το δεύτερο 109,109,182

.

Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς.

Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα κι' ελάχιστες λέξεις.

Η πρώτη -τουλάχιστον- απάντηση από μαθητή. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

geoberdenis2004 · #2

Καλησπέρα.Από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν τυχόντος τριγώνου έχουμε:
Για το εμβαδόν του πρώτου τριγώνου: $\varepsilon _{1}=\sqrt{\tau (\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}=$ \sqrt{169(169-109)(169-109)(169-120)} $=\sqrt{29811600}=5460$
, όπου $\tau =\frac{\alpha +\beta +\gamma }{2}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου και $\alpha ,\beta ,\gamma$ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.Για το εμβαδόν του δεύτερου τριγώνου έχουμε: $\varepsilon _{2}=\sqrt{\tau(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}=$ \sqrt{200(200-109)(200-109)(200-182)} $=\sqrt{29811600}=5460$ .Άρα τα δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 8:55 pm
Καλησπέρα.
Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά..
Το πρώτο έχει μήκη πλευρών , ενώ το δεύτερο .

Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς.

Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα κι' ελάχιστες λέξεις.

Η πρώτη -τουλάχιστον- απάντηση από μαθητή. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: 289.PNG (18.3 KiB) Προβλήθηκε 1802 φορές

$\rm \cos\angle A=\dfrac{109^2+109^2-120^2}{2\cdot 109\cdot 109}=\dfrac{182^2-109^2-109^2}{2\cdot 109\cdot 109}=-\cos\angle D\Rightarrow \angle A+\angle D=\pi$ .
Δηλαδή $\rm \sin \angle A=\sin \angle D$ και οι διαδοχικές πλευρές ίσες που δίνει ότι έχουν ίσα εμβαδά.

KARKAR · #4

: Ισεμβαδικά.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 1762 φορές

Εξετάστε το σχήμα για να διαπιστώσετε γιατί έχουμε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα .

Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει δεύτερο αν οι πλευρές του πρώτου είναι ακέραιες ;

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ! Ευχαριστώ τον νεαρό geoberdenis2004 (να μαντέψω..Γιώργος-

άχρονος ; ) και τον Πρόδρομο για τις απαντήσεις,
αλλά και τον KARKAR που προσπαθεί να μας '' βάλει σε νόημα".

Έχω λοιπόν ένα ακόμη σχήμα που μάλλον καθιστά τα λόγια ..περιττά! Εννοείται πως δεν θα βιαστώ να το υποβάλω.
Φιλικά, Γιώργος.

angvl · #6

Καλημέρα. Μήπως αυτό είναι το σχήμα που ψάχνουμε?

: τρίγωνα ισοσκελή με ίσα εμβαδά.png (87.69 KiB) Προβλήθηκε 1715 φορές

p_gianno · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 8:55 pm
Καλησπέρα.
Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά..
Το πρώτο έχει μήκη πλευρών , ενώ το δεύτερο .

Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς.

Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα κι' ελάχιστες λέξεις.

Η πρώτη -τουλάχιστον- απάντηση από μαθητή. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Σχήμα.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 1696 φορές

#8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 8:55 pm
Καλησπέρα.
Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά..
Το πρώτο έχει μήκη πλευρών , ενώ το δεύτερο .

Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς.

Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα κι' ελάχιστες λέξεις.

Η πρώτη -τουλάχιστον- απάντηση από μαθητή. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Άλλο ένα σχήμα.

: Σύγκριση εμβαδών.Μ.png (24.46 KiB) Προβλήθηκε 1683 φορές

angvl · #9

Καλησπέρα.

$\displaystyle (PEQ) = (PEF)$

: τρίγωνα ισοσκελή με ίσα εμβαδά2.png (60.94 KiB) Προβλήθηκε 1644 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλό βράδυ. Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες επεμβάσεις σας!
Το σχήμα που είχα κατά νου είναι περίπου το ίδιο με το τελευταίο του angvl. Ας το δούμε γενικότερα:

: Σύγκριση εμβαδών.PNG (10.32 KiB) Προβλήθηκε 1601 φορές

Τα τρία ορθογώνια τρίγωνα είναι προφανώς ίσα συνεπώς τα BAD

και

με πλευρές $\left ( b,b,a \right )$ και $\left ( b,b,2h \right )$ είναι ισεμβαδικά.

Στο παρόν θέμα προτίμησα την Πυθαγόρεια τριάδα $\left ( a/2,h,b \right )=\left ( 60,91,109 \right )$

οπότε προέκυψαν τρίγωνα με πλευρές (109,109,120)

και

.. Φιλικά, Γιώργος.

#11

Καλησπέρα σε όλους.

Παρατηρούμε ότι $120^2+182^2=(2 \cdot 109)^2$ , οπότε τα τρίγωνα 109,109,120

και

είναι ισεμβαδικά.

$\bigstar$ Γενίκευση.

Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα (a, a, b)

και

με

είναι ισεμβαδικά ανν b^2+c^2 = (2a)^2

.

#12

Θυμάστε, την περασμένη άνοιξη που ήμασταν σε καραντίνα και είχαμε το χρόνο να συζητάμε όμορφα θέματα;

Ε, λοιπόν, αυτό ξεχάστηκε. Επαναφέρω το ερώτημα της γενίκευσης. Αν και είμαστε σε φάκελο μαθητών, ας μείνει ελεύθερη και για "ενήλικες", μη τυχόν και ξεχαστεί ξανά.

$\bigstar$ Γενίκευση.

Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα (a, a, b)

και

με

είναι ισεμβαδικά ανν b^2+c^2 = (2a)^2

.

Manolis Petrakis · #13

Από τον τύπο του Ήρωνα:
$\sqrt{(2a+b)(2a-b)b^2}=\sqrt{(2a+c)(2a-c)c^2}$
$\Leftrightarrow (4a^2-b^2)b^2=(4a^2-c^2)c^2$
$\Leftrightarrow 4a^2b^2-4a^2c^2+c^4-b^4=0$
$\Leftrightarrow (b^2-c^2)(4a^2-b^2-c^2)=0$
$\stackrel {b\neq c}{\Leftrightarrow}b^2+c^2=(2a)^2$

#14

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 27, 2020 11:27 am
Θυμάστε, την περασμένη άνοιξη που ήμασταν σε καραντίνα και είχαμε το χρόνο να συζητάμε όμορφα θέματα;

Ε, λοιπόν, αυτό ξεχάστηκε. Επαναφέρω το ερώτημα της γενίκευσης. Αν και είμαστε σε φάκελο μαθητών, ας μείνει ελεύθερη και για "ενήλικες", μη τυχόν και ξεχαστεί ξανά.

$\bigstar$ Γενίκευση.

Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα και με είναι ισεμβαδικά ανν .

: Σύγκριση εμβαδών.ΓΡ.png (7.83 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

$\displaystyle (KLM) = (KNP) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{a^2}\sin \theta = \frac{1}{2}{a^2}\sin \omega \mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta \ne \omega } \cos \theta = - \cos \omega \Leftrightarrow$

$\displaystyle {b^2} + {c^2} = 2{a^2} - 2{a^2}\cos \omega + 2{a^2} - 2{a^2}\cos \theta = {(2a)^2}$

#15

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον Μανώλη και τον Γιώργο για τις απαντήσεις τους.

Έφερα στη μνήμη μου το θέμα, επειδή (αναζητώντας κάτι άλλο) συνάντησα στο τεύχος 90 του Ευκλείδη Γ΄(2019) το πολύ ενδιαφέρον άρθρο των Κώστα Δόρτσιου και Δημήτρη Ντρίζου, με τίτλο Από τις “διαισθητικές προσεγγίσεις” στις “μαθηματικές βεβαιότητες”, όπου διερευνάται σε βάθος το θέμα.

Ας δώσω μια παραλλαγή των όμορφων αποδείξεων του Γιώργου και του Μανώλη:

Ορθόν:

: 27-12-2020 Γεωμετρία.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

$\displaystyle \left( {ABD} \right) = \left( {ACD} \right) \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\eta \mu \omega }}{2} = \frac{{{a^2}\eta \mu \varphi }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \omega = \eta \mu \varphi$
Αφού c > b

, είναι $\displaystyle \varphi > \omega \Rightarrow \varphi + \omega = 180^\circ$ ,

οπότε το

ανήκει στο τμήμα

και στο τρίγωνο ABC

η διάμεσος

ισούται με το μισό της

, άρα είναι ορθογώνιο, οπότε ισχύει
${b^2} + {c^2} = {(2a)^2}$

Αντίστροφον:

: 27-12-2020 Γεωμετρία c.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

με πλευρές AB = c, AC = b, BC= 2a

, για το οποίο ισχύει ${b^2} + {c^2} = {(2a)^2}$ , άρα είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη

.

Τότε η διάμεσος

το χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα ABD, ADC

με πλευρές (a,a,c) και (a, a, b)

αντίστοιχα.

Γιώργος Μήτσιος · #16

Χαιρετώ τους φίλους! Μετά τις θαυμάσιες ως άνω λύσεις ,
μια ακόμη προσέγγιση με την βοήθεια της εικόνας.

: Γενίκευση Γ.Ρ.png (84.79 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

Έστω ότι ισχύει $b^{2}+c^{2}=\left ( 2a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( b/2 \right )^{2}+\left ( c/2 \right )^{2}=a^{2}$ . Θεωρούμε το (ορθογώνιο ) τρίγωνο-γεννήτορα MAN

με πλευρές (a ,b/2,c/2)

. Με συμμετρίες σχηματίζουμε τα τρίγωνα: MEN

με πλευρές (a,a,c)

και

με πλευρές (a,a,b)

.

Τότε προφανώς έχουμε (MEN)=2(MAN)=(BIL)

.

Έστω τώρα ότι για τα τρίγωνα με τις ως άνω πλευρές ισχύει (MEN)=(BIL)

.

Τότε για $\widehat{MNE}=x...\widehat{LBI}=y$ και με $b\neq c$ προκύπτει $x+y=\pi$ .

Αν NA,BA'

ύψη έχουμε $\widehat{A'BI}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{\pi -x}{2}=\widehat{AEN}$ οπότε τα ορθ. τρίγωνα NEA=BA'I

είναι ίσα και ευκολα παίρνουμε $\left ( b/2 \right )^{2}+\left ( c/2 \right )^{2}=a^{2}\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=\left ( 2a \right )^{2}$ . Φιλικά, Γιώργος.

Σύγκριση εμβαδών

Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Re: Σύγκριση εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση