Ανισοϊσότητα

#1

Αποδείξτε ότι για κάθε $x,y\in \mathbb{R},$ ισχύει: $(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\ge 0.$

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ένα 24ωρο για μαθητές μέχρι Α' λυκείου.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 1:24 pm
Αποδείξτε ότι για κάθε $x,y\in \mathbb{R},$ ισχύει: $(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\ge 0.$

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ένα 24ωρο για μαθητές μέχρι Α' λυκείου.

Καλησπέρα Γιώργο

.

Η προς απόδειξη γράφεται ως $(y^2+1)x^2+4(y-1)x+y^2-4y+5 \geqslant 0$ , οπότε αφού y^2+1>0

, αρκεί να δείξω ότι $\Delta \leqslant 0$ .

Αυτό όμως είναι προφανές, καθώς $\Delta=16(y-1)^2-4(y^2+1)(y^2-4y+5)=-4(y^2-2y-1)^2 \leqslant 0$ .

Η ισότητα, ισχύει όταν y^2-2y-1=0

(Αν $y^2-2y-1 \neq 0$ , είναι $\Delta<0$ , άρα και (y^2+1)x^2+4(y-1)x+y^2-4y+5>0

, οπότε δεν ισχύει η ισότητα) και $x=\dfrac{-4(y-1)}{2(y^2+1)}=\dfrac{2(1-y)}{y^2+1}$ (αφού $\Delta=0$ έχω διπλή ρίζα, έστω $\rho$ . Τότε, πρέπει $(x-\rho)^2=0$ , άρα $x=\rho$ ).

Τελικά, προκύπτει ότι η ισότητα ισχύει όταν $(x,y)=(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}),(1+\sqrt{2},1-\sqrt{2})$ .

#3

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{(xy+1)^2+(x+y-2)^2\geq 0.}$

Al.Koutsouridis · #4

matha έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 21, 2020 3:45 pm
Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{(xy+1)^2+(x+y-2)^2\geq 0.}$

Πράγματι από την ταυτότητα Lagrange έχουμε

$(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\ge 0 \Leftrightarrow$

$(x+y)^2 +(xy-1)^2 +4(x-1)(y-1) \ge 0 \Leftrightarrow$

$(x+y)^2+(xy)^2-2xy+1 +4xy-4(x+y)+4 \ge 0 \Leftrightarrow$

$(x+y)^2 -4(x+y)+4 + (xy)^2+2xy+1 \ge 0 \Leftrightarrow$

$(x+y-2)^2+(xy+1)^2 \ge 0$

#5

Ωραία ασκησούλα!
Μού θύμισε την 951...

Ανισοϊσότητα

Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Μέλη σε σύνδεση