Οι λόγοι κρατάνε το .. λόγο τους

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1260
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Οι λόγοι κρατάνε το .. λόγο τους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 02, 2020 10:47 am

Καλημέρα και καλή Σαρακοστή !
Οι λόγοι κρατάνε το λόγο τους.PNG
Οι λόγοι κρατάνε το λόγο τους.PNG (8.82 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Το ορθογώνιο (\widehat{A}=90^\circ) τρίγωνο ABC είναι σταθερό. Το E κινείται πάνω στην AC

ενώ το P \in AB ώστε ο λόγος \dfrac{BP}{EC}=m να είναι επίσης σταθερός.

Ακόμη το M κινείται πάνω στην BC ώστε το τόξο των  P,M,E να επανατέμνει την BC στο H. Θεωρούμε τη σχέση \dfrac{MP}{ME}= \lambda \cdot \dfrac{HE}{HP}

Να εξεταστεί αν το \lambda είναι σταθερό, δηλ αν οι λόγοι \dfrac{MP}{ME} και  \dfrac{HE}{HP} "κρατάνε" το λόγο τους.

48 ώρες για τους μαθητές.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οι λόγοι κρατάνε το .. λόγο τους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 04, 2020 5:14 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 02, 2020 10:47 am
Καλημέρα και καλή Σαρακοστή !
Οι λόγοι κρατάνε το λόγο τους.PNG
Το ορθογώνιο (\widehat{A}=90^\circ) τρίγωνο ABC είναι σταθερό. Το E κινείται πάνω στην AC

ενώ το P \in AB ώστε ο λόγος \dfrac{BP}{EC}=m να είναι επίσης σταθερός.

Ακόμη το M κινείται πάνω στην BC ώστε το τόξο των  P,M,E να επανατέμνει την BC στο H. Θεωρούμε τη σχέση \dfrac{MP}{ME}= \lambda \cdot \dfrac{HE}{HP}

Να εξεταστεί αν το \lambda είναι σταθερό, δηλ αν οι λόγοι \dfrac{MP}{ME} και  \dfrac{HE}{HP} "κρατάνε" το λόγο τους.

48 ώρες για τους μαθητές.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω K, L οι προβολές των P, E στην BC αντίστοιχα και R η ακτίνα του κύκλου.
...κρατάνε το λόγο τους.png
...κρατάνε το λόγο τους.png (15.48 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Είναι, \displaystyle \lambda  = \frac{{MP \cdot HP}}{{ME \cdot HE}} = \frac{{2R \cdot PK}}{{2R \cdot EL}} = \frac{{PK}}{{EL}}. Αλλά, το καθένα από τα τρίγωνα BPK, CEL είναι όμοιο

με το ABC, οπότε \displaystyle PK = \frac{b}{a}BP,EL = \frac{c}{a}EC \Rightarrow \lambda  = \frac{b}{c} \cdot \frac{{BP}}{{EC}} \Leftrightarrow \boxed{\lambda  = \frac{b}{c}m} που είναι σταθερός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες