Ωραία καθετότητα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ωραία καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 30, 2019 8:09 am

Απλή  καθετότητα.png
Απλή καθετότητα.png (7.63 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο S της υποτείνουσας BC , ώστε AS=AB .

Ονομάζουμε M,N τα μέσα των τμημάτων BS,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι : MN \perp AS .

Λύση από μαθητές εντός του 2019 . Άσκηση ωραία - πιστεύω - για σχολική χρήση .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Δευ Δεκ 30, 2019 6:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ωραία καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Δεκ 30, 2019 2:56 pm

Καλησπέρα Θανάση!

Πολύ ωραία άσκηση! :) (υποθέτω ότι το ζητούμενο είναι MN \perp AS)

Έστω, \angle ACB=\phi.

Τότε, στο \vartriangle ABS είναι AB=AS και AM διάμεσος, άρα AM \perp BS.

Οπότε, το \vartriangle AMC είναι ορθογώνιο με MN διάμεσό του. Οπότε, \angle NMC=\angle NCM=\phi.

Ακόμη, \angle ASM=\angle ABS=\angle ABC=90^\circ-\angle \phi=90^\circ-\angle NMC.

Άρα, \angle NMC+\angle ASM=90^\circ, που δίνει άμεσα AS \perp MN.

Με την ευκαιρία, ας αναφέρω ότι αυτή είναι η 1500η μου δημοσίευση στο :logo: !!! :D


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ωραία καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 30, 2019 8:06 pm

Χρόνια πολλά .

Κάτι παρόμοιο με τον φίλτατο νεαρό Ορέστη.

Ωραία καθετότητα_1.png
Ωραία καθετότητα_1.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Επειδή η AM είναι και διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου ABS θα είναι :

\widehat {ABM} = \widehat {MAS} = \widehat \omega .

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο MCA η διάμεσος MN = \dfrac{{AC}}{2} = NA θα είναι:

\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}}\,\, \Leftrightarrow \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} - \widehat {{\omega _{}}}\,\,(1).

Αλλά \displaystyle 2\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 90^\circ \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 2\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} - \widehat {{\omega _{}}} = 90^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ }

Άρα AS \bot MN.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ωραία καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 30, 2019 8:23 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 8:09 am
Απλή καθετότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο S της υποτείνουσας BC , ώστε AS=AB .

Ονομάζουμε M,N τα μέσα των τμημάτων BS,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι : MN \perp AS .

Λύση από μαθητές εντός του 2019 . Άσκηση ωραία - πιστεύω - για σχολική χρήση .
Ωραία καθετότητα_2.png
Ωραία καθετότητα_2.png (24.91 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου BC και ας είναι D το άλλο σημείο τομής της AM μ αυτόν.

Έστω ακόμα E το σημείο τομής των AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC.

Επειδή \widehat {{a_2}} = \widehat {BAD} = \widehat \omega το τετράπλευρο AMEC είναι εγγράψιμο , οπότε AE \bot DC.

Αλλά MN// = \dfrac{{DC}}{2} άρα AE \bot MN.

Ορέστη εύχομαι να ξεπεράσεις το 1.000.000 !! αναρτήσεις


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ωραία καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Δεκ 31, 2019 1:30 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 8:09 am
Απλή καθετότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο S της υποτείνουσας BC , ώστε AS=AB .

Ονομάζουμε M,N τα μέσα των τμημάτων BS,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι : MN \perp AS .

Λύση από μαθητές εντός του 2019 . Άσκηση ωραία - πιστεύω - για σχολική χρήση .


Με AF=AB \Rightarrow FS \bot BC \Rightarrow AM//FS και FASC εγγράψιμο.

Έτσι ,οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα AS \bot MN
Συνημμένα
Ωραία καθετότητα.png
Ωραία καθετότητα.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ωραία καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 31, 2019 2:37 am

Ωραία καθετότητα_3.png
Ωραία καθετότητα_3.png (21.12 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Η από το N παράλληλη στην AS τέμνει την AB στο L και την BC στο K

Προφανές ότι το τρίγωνο LBK είναι ισοσκελές και στο ορθογώνιο τρίγωνο MAC η

MN διάμεσος προς υποτείνουσα. Ταυτόχρονα λοιπόν έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_3}} = \widehat {{y_{}}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} = \widehat {{x_{}}} \hfill \\ 
  \widehat {{x_{}}} + \widehat {{y_{}}} = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_3}} + \widehat {{a_2}} = 90^\circ } \Rightarrow MN \bot NK \Rightarrow MN \bot AS


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης