Διαιρέτης από διαιρέτη

#1

Δείξτε ότι αν ο

διαιρεί τον 3a+2b

, όπου

ακέραιοι, τότε θα διαιρεί και τον 8a+11b

.

Κατάλληλη για μικρές τάξεις του Γυμνασίου.
Νομίζω

ώρες αρκούν.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:35 pm
Δείξτε ότι αν ο διαιρεί τον , όπου ακέραιοι, τότε θα διαιρεί και τον .

Κατάλληλη για μικρές τάξεις του Γυμνασίου.
Νομίζω ώρες αρκούν.

Είναι,

, οπότε αφού ο

διαιρεί το δεξί μέλος, έχω ότι αν $17 \mid 3a+2b$ , τότε $17 \mid 4(8a+11b)$ , άρα $17 \mid 8a+11b$ , αφού οι 17,4

είναι πρώτοι μεταξύ τους.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 11:45 pm
Είναι, ,

Θαυμάσια. Γλυτώνουμε απειροελάχιστο κόπο αν πούμε την παραλλαγή

(8a+11b )+3(3a+2b)=17(a+b)

ή αλλιώς

πολ/σιο του

+ πολ/σιο του

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για να την δούμε λίγο διαφορετικά.
Χωρίς να χρειαστούμε προσθαφαιρέσεις.
Είναι
3a+2b=17k

παίρνουμε

$b=\frac{17k-3a}{2}$

αντικαθιστώντας είναι

$8a+11b=8a+11.\frac{17k-3a}{2}=\frac{16a+11.17k-33a}{2}=\frac{17(11k-a)}{2}$

Επειδή το 8a+11b

είναι ακέραιος το

οφείλει να απλοποιείται.

Αφου δεν μπορεί με το

θα απλοποιείται με το (11k-a)

και τελειώσαμε.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #5

Ένας άλλος τρόπος είναι να προσδιορίσουμε τα a,b

που ικανοποιούν τη γραμμική διοφαντική εξίσωση : $3a+2b=17l \Leftrightarrow 3a+2b-17l=0$ ,η οποία έχει ακέραιες λύσεις, αφού (3,2,-17)=1|0

.Θέτουμε

,οπότε η εξίσωση γίνεται: u-17l=0

.Βρίσκουμε μια λύση : $(u_{0},l_{0})=(17,1)$ .Επομένως οι λύσεις δίνονται από τις σχέσεις : $(u,l)=(17-17t,1-t), t\in \mathbb{Z}$
Άρα έχουμε να λύσουμε την εξίσωση : 3a+2b=17-17t

.
Επειδή (3,2)=3*1+2*(-1)=1

είναι :

, άρα μια λύση είναι η (a,b)=(17-17t,-17+17t)

και οι λύσεις δίνονται από τις σχέσεις : $(a,b)=(17-17t+2s,-17+17t-3s), s\in \mathbb{Z}$
Επομένως έχουμε :
8a+11b=8*17-18t+8*2*s-11*17+11*17t-11*3s=-3*17+3*17t-17s=17(-3+3t-s)=pol17

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:35 pm
Δείξτε ότι αν ο διαιρεί τον , όπου ακέραιοι, τότε θα διαιρεί και τον .

Κατάλληλη για μικρές τάξεις του Γυμνασίου.
Νομίζω ώρες αρκούν.

Για να δούμε και μια λύση πολύ εκτός φακέλου.
Δουλεύω στο .......
Εχω
$3a+2b=0\Rightarrow 3a=15b\Rightarrow18a=90b=5b\Rightarrow a=5b$
Ετσι είναι
8a+11b=40b+11b=51b=0

Δηλαδή το ζητούμενο.
τι πρέπει να γράψω στο ...........;

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 6:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:35 pm
Δείξτε ότι αν ο διαιρεί τον , όπου ακέραιοι, τότε θα διαιρεί και τον .

Κατάλληλη για μικρές τάξεις του Γυμνασίου.
Νομίζω ώρες αρκούν.
Για να δούμε και μια λύση πολύ εκτός φακέλου.
Δουλεύω στο .......
Εχω
$3a+2b=0\Rightarrow 3a=15b\Rightarrow18a=90b=5b\Rightarrow a=5b$
Ετσι είναι

Δηλαδή το ζητούμενο.
τι πρέπει να γράψω στο ...........;

Ωραία λύση Σταύρο. ....mod17

Διαιρέτης από διαιρέτη

Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Μέλη σε σύνδεση