Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}}$ με

$\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}$ .

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.

#2

Ας την αφήσουμε άλλες

ώρες στους μαθητές μας, αλλά αυτή την φορά θα δώσω υπόδειξη.

Το f(1)

είναι ένας από τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7

. Ας κάνουμε υπόθεση εργασίας ότι είναι f(1)=1

. Τι συμπεράσματα βγάζουμε; Μας οδηγεί σε άτοπο ή όχι; Αν οδηγεί σε άτοπο, απορρίπτουμε την υπόθεσή μας και προχωράμε σε μια δεύτερη, και ούτω καθ' εξής.

#3

Ανοικτή σε όλους.

#4

$\left\{ \begin{gathered} f(1) = 5 \hfill \\ f(2) = 3 \hfill \\ f(3) = 7 \hfill \\ f(4) = 1 \hfill \\ f(5) = 4 \hfill \\ f(6) = 2 \hfill \\ f(7) = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν f(1)

είναι

έχω αδιέξοδο αλλά έχω αποκλείσει ταυτόχρονα 4 τιμές που μπορεί να πάρει

Με f(1) = 5

δεν έχω αδιέξοδο

Τώρα πρέπει να βρω το f(2)

, με

προχωρώ χωρίς πρόβλημα και βρίσκω τις άλλες τιμές .

Ίσως υπάρχει καλύτερη λύση .

Αν έχω λάθος συμπαθάτε με .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 10:11 pm
$\left\{ \begin{gathered} f(1) = 5 \hfill \\ f(2) = 3 \hfill \\ f(3) = 7 \hfill \\ f(4) = 1 \hfill \\ f(5) = 4 \hfill \\ f(6) = 2 \hfill \\ f(7) = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν είναι έχω αδιέξοδο αλλά έχω αποκλείσει ταυτόχρονα 4 τιμές που μπορεί να πάρει

Με δεν έχω αδιέξοδο

Τώρα πρέπει να βρω το , με προχωρώ χωρίς πρόβλημα και βρίσκω τις άλλες τιμές .

Ίσως υπάρχει καλύτερη λύση .

Αν έχω λάθος συμπαθάτε με .

Δεν κάνεις λάθος Νίκο.

Υπάρχει τουλάχιστον ακόμη μία
η
$\left\{ \begin{gathered} f(1) = 5 \hfill \\ f(2) = 6 \hfill \\ f(3) = 2 \hfill \\ f(4) = 1 \hfill \\ f(5) = 4 \hfill \\ f(6) = 7\hfill \\ f(7) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}}$ με

$\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}$ .

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.

Μια εκτός φακέλου.

Η fof

είναι μετάθεση. Το ίδιο και η

Γράφοντας την fof

σαν γινόμενο ξένων κύκλων (145)(27)(36)

είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτή μπορεί να έχει προέλθει

από την (154)(2376)

ή την

(οι κύκλοι με άρτιο το πλήθος στοιχεία συγχωνεύονται).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}}$ με

$\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}$ .

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.

Αν κρίνω από την λύση που θα παραθέσω νομίζω ότι το παρακάτω είναι άστοχο.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.

Με $f^{2},f^{3},..$ συμβολίζω τις fof,fofof,...

κλπ.

Η

είναι μια συνάρτηση από το $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ στο $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$

1)Αν μία από τις $f^{2},f^{3},..$ είναι 1-1

τότε και η

είναι.
Αρα η

είναι

2)Είναι $f(x)\neq x,x\in \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$

3) $f(1),f(2),f(3)\in A=\left \{ 1,5,4 \right \}$
Απόδειξη.
Εστω $f(1)\notin A$
Θα είναι $f(1)\in \left \{ 2,6,3,7 \right \}$
Εστω f(1)=2

θα είναι
$f^{2}(1)=f(2),f^{3}(1)=7,f^{5}(1)=2$
Δηλαδή $f^{5}(1)=f(1)\Rightarrow f^{4}(1)=1$
Αλλά $f^{4}(1)=5$ ΑΤΟΠΟ.
Με όμοιους συλλογισμούς καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ και για τα άλλα.

4)Εχουμε από το προηγούμενο ότι
f(1)=4 or f(1)=5

Αν

τότε $f^{2}(1)=f(4)\Rightarrow 4=f(4)$
ΑΤΟΠΟ.

Αρα f(1)=5

οπότε

5)Είναι $f(2),f(6),f(3),f(7)\in \left \{ 2,3,6,7 \right \}$
$f(2)\neq 2$
Αν f(2)=7

τότε $f(7)=f^{2}(2)=7$
ΑΤΟΠΟ
α) f(2)=3

τότε $f(3)=f^{2}(2)=7$
Ετσι $f(6)\in \left \{ 2,6 \right \}$
οπότε f(6)=2

είναι δε $f(7)=f^{2}(3)=6$
και την βρήκαμε.
β) f(2)=6

Δουλεύοντας όπως στο α) βρίσκουμε
f(2)=6,f(6)=7,f(7)=3,f(3)=2

Τελικά είναι δύο συναρτήσεις οι
f(5)=4,f(4)=1,f(2)=6,f(6)=7,f(7)=3,f(3)=2,f(1)=5

Εχω και άλλη απόδειξη η οποία στην ουσία είναι να αποδείξουμε γνωστές ιδιότητες
των μεταθέσεων, και να βρούμε την συνάρτηση.

Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Μέλη σε σύνδεση